THÉORIE MATHÉMATIQUE DE l'ÉCHELLE MUSICALE 147 



§ 3. — Les limites de la valeur d'un intervalle 



Les limites de la valeur d'un intervalle d'expression générale 

 x'*y'' indiquée au tableau précédent pour les 13 fondamentaux, 

 auxquels sont ajoutés la seconde chromatique et le coninia, 

 envisagées du point de vue qu'une seconde mineure étant infé- 

 rieure à une seconde majeure, c'est-à-dire que la seconde chro- 



matique ne peut être nulle, mais que son expression a une 

 valeur numérique supérieure à l'unité, relativement à l'un 

 d'entre eux pris comme unité de comparaison, l'octave z^ par 

 exemple, s'obtiennent en considérant les limites extrêmes : 



y = 1 et y = X 



pour lesquelles x, en fonction de z^ = x^y- deviendra : 



Z|j ' et Zo ' 

 et conséqueminent l'intervalle x'^y^ sera compris entre : 



X et X ^ 

 c'est-à-dire qu'en fonction de z^ il sera compris entre 



a a+b 



Zy et Zq 



La variation maximum sera conséqueminent 



a a + b 2a— 5b 



„ 5 7~ _ „ 35 



et en dehors de sa valeur nulle, correspondant à l'octave pour 

 lequel a = 5 et b = 2, ou à ses redoublements, elle sera évi- 

 demment la plus petite et égale à ^ 35 d'octave pour 2a — ôb 

 — zh 2^ équation dont les seules solutionssont données par l'un 

 ou l'autre des systèmes 



( b = 1 + 22 1 ( b = 1 + 2Â 1 



1 a = 3 + 52 J ^^ ( a = 2 + 5;. i 



oii X est un nombre entier =t. Les intervalles remplissant cette 

 condition de variation minimum seront en conséquence de 

 l'une ou l'autre des expressions : 



(1) x''' y^' = x^+^Xy'+^À = xh(x'y'/- 



soit une quinte simple ou redoublée 



