148 THÉORIE MATHÉMATIQUE DE l'ÉCHELLE MUSICALE 



(2) xV'=x^+''y^+''— xV^xy)>- 



soit une quarte simple ou redoublée. Ce qualificatif « redoublé » 

 s'entendant comme augmenté ou diminué d'un certain nombre 

 X d'octaves. Ainsi dans l'échelle d'un octave, la quinte et la 

 quarte sont les intervalles dont la variation d'étendue possible 

 sera la moindre et inférieure à ^/.,5 d'octave. 



Au tableau précédent, sous colonnes 7 à 12, sont données les 

 limites et l'écart maximum possible, soit par rapport à l'octave 

 Zo, soit sur base de l'octave hai-monique z^ = 2 où l'on verra 

 que la quarte et son intervalle complémentaire ' la quinte ont 

 chacune un écart de variation inférieui- à 2''- = 1,0200, com- 

 pris pour la quinte entre les valeurs limites 2"- = 1,5157 et 

 2V- = 1,4860, c'est-à-dire pouvant varier de 1 ^ o au maximum 

 au-dessous ou au-dessus de sa valeur harmonique Vs '= 1,5. 



Cette variation est inférieure à "/ss d'octave pour la seconde 

 majeure, ^i^.^ pour la tiei-ce mineure, Vss pour la tierce majeure, 

 ^'35 pour la seconde mineure, Vsj pour la quarte augmentée et 

 son intervalle complémentaire la quinte diminuée, ^ g^ pour la 

 seconde chromatique, ^° g. d'octave pour le comma. L'écart 

 maximum du comma entre ses limites peut donc être double de 

 celui le plus élevé qu'on rencontre dans les intervalles fondamen- 

 taux, ou 12 fois celui de la quinte; de ce point de vue, le comma est 

 le moins déterminé de tous les intervalles mentionnés jusqu'ici. 



§ 4. — Echelles symétriques, intervalles complémentaires 



Les 13 intervalles fondamentaux portés à partir d'une même 

 tonique ut„ divisent l'échelle d'un octave en 13 degrés de 

 trois types, indiqués sous colonne 5 du tableau précédent, soit 

 8 secondes mineures, 4 secondes chromatiques et 1 comma. Les 

 décompositions correspondantes de l'octave sont représentées 

 par les expressions : 



= r (^) c = y'V = x'-y- = y" (^) 



* Sont appelés '<■ complémentaires » deux intervalles dont la somme 

 est égale à un octave ; ce sont an tableau précédent ceux dont la somme 

 des numéros d'ordre est égale à 12. Ils sont dits aussi « renversés ». 



