THÉORIE MATHÉMATIQUE DE l' ÉCHELLE MUSICALE 149 



dont l'avant-dernière se rapporte aux gammes majeures et 

 mineures et la dernière à la gamme dite chromatique de 

 12 intervalles, que l'écriture musicale indique par 7 secondes 

 mineures et 5 secondes chromatiques par octave. 



Au centre de cette échelle de 13 degrés figure un « comma », 

 de sens positif ou négatif à partir du sol"», ou nul, d'où se suc- 

 cèdent dans le même ordre, descendant vers ut^ et ascendant 

 vers utg, 4 secondes mineures et 2 secondes chromatiques. Ce 

 sont des successions symétriques dans lesquelles les expressions 

 algébriques des notes symétriques deux à deux par rapport au 

 comma central, sont eu même temps celles d'intervalles qui, 

 ajoutés l'un à l'autre, formeront un intervalle d'octave et qu'on 

 peut appeler complémeniaires : tels sont ceux du tableau précé- 

 dent, dont la somme des numéros d'ordre est toujours égale au 

 chiffre 12, entre autre la quinte et la quarte, dont le produit des 

 expressions algébriques est égal à x'y- et dont l'écart possible 

 dans les limites définies au § 3 est le même. 



Si l'une des successions symétriques ci-dessus est transposée 

 d'un octave (au-dessus par exemple), l'échelle des 13 notes 

 fondamentales se divisera en deux successions de notes symé- 

 triques par rapport à la tonique ut^ sous la forme : 



ré_ii> mi_i'' fa_, sol_i'' la_,'' sLi^ uto réo mio fa* soIq lao sio (') 



auxquelles on peut ajouter les notes symétriques supplémen- 

 taires ut_i' d'un côté et utj^ de l'autre ; on obtient alors deux 

 successions semblables de la gamme d'ut majeur, qui sont sa 

 transposition en ton de ré et en ton de ré^. Les expressions 

 algébi'iques des notes symétriques par rapport à la tonique ut^ 

 sont inverses, c'est-à-dire leur produit égal à l'unité, autre- 

 ment dit la somme des intervalles correspondant est nulle, en 

 considérant comme sens positif celui d'une succession d'inter- 

 valles ascendante et négative celui d'une succession descen- 

 dante. 



' Ces deux successions de notes peuvent s'obtenir l'une par six 

 quintes ascendantes, l'autre par six quintes descendantes, à partir de 

 la tonique uIq. 



