154 THÉORIE MATHÉMATIQUE DE l'ÉCHELLE MUSICALE 



Ainsi pour l'expression 

 x"'y" ou a = 4 et b = 2 . c'est-à-dire a + l) = 6 = a4-^ 



le tableau ci-dessus donne directement a = 5 et (5 = 1, consé- 

 quemmeut y = 4 — 5 = — 1, la note correspondante sera un 

 si'^, ce que vérifie l'identité : 



Mais ne pouvant étendre à l'infini ce tableau, voici comment 

 l'on peut opérer à l'aide seulement des sept premières valeurs 

 positives de (a ~\- ^i du tableau, quels que soient celles et les 

 signes de a et b. La note naturelle x^y/^ pourra s'exprimer au 

 moyeu de sa note semblable x^'oy/^» du premier octave (dont a^ 

 et Po se trouveront donc ci-dessus), transposée de X octaves, 

 les deux équations ci-dessus sous (1) devenant alors : 



a = «„ + y + 6Z \ 



b = ^„ + y + 2A j ''*1- ""''^ 



et par suite celles sous (2) seront remplacées par deux autres, 

 qui résolues par rapport à X et y deviendront : 



A = a + b - (ay + /3„) | 



(2a — 5b) - (2a:„ - 5^o) (^4- 2 bisj 



Si (a + b) était un multiple de 7, il est évident que l'expression 

 de À serait satisfaite par a^ + Po = et par suite celle de y par 



2a — 5b 



y = — ^ — 



Mais plus généralement on aura 



où A sera la partie entière et R le reste du quotient (positifs ou 

 négatifs) et l'on trouvera tout d'abord une valeur entière de X 

 satisfaisant l'équation ci-dessus, en y posant : 



«0 -f ^0 = R ou a„ + /{„ = R _ 7 



