THÉORIE MATHÉMATIQUE DE l'ÉCHELLE MUSICALE 155 



on devra évidemment choisir celle de ces deux expressions pour 

 laquelle on aura 



«0 + /5o < 7 (') 



(tto + Po") et À étant ainsi déterminés, on trouvera au tableau 

 précédant les valeurs correspondantes de (2ao — 6%), puis 

 l'exposant y d'après la seconde des équations sous (2 bis). 



Que X étant entier, y le soit aussi, les équations sous 1 bis 

 d'où l'on tire y = 2 X -|- |3o — b le montrent directement, j3o et 

 b étant eux-mêmes entiers. 



Ainsi, pour l'expression x'-y" où a -|- b = 20 et 2 a — 5 b 

 = 16, on aurait 



_ 20 - («0 + ^o) 



7 



ce qui implique y.^ -\- % = Q et X = 2, par suite et d'après le 

 tableau : 



2a„ _ 5/3o = 5 et y = ~ ^~ = - 3 



La note cherchée serait un si.,^'^'', ce que véritie l'identité 



-3 



On trouverait de même que 



x>-y^ = x^y(x^y=)- m 



y-, la double seconde mineure est. par rapport à ut^, déterminée par 



un mio'*'' (c'est la succession ut — ré^ — mi^b) ; 

 y^, la triple seconde mineure est, par rapport à uto . déterminée par un 



fao^'^ (c'est la succession ut — ré^ — mi^b — fabb j 



^ En eflfet : si 



, _ A + " - '"; tw 



doit être entier, il faut que 



R - («0 + /3o) ^ g 



7 

 où B soit entier, par suite ; 



a„ 



/3o = R - 7B < 7 



(où ^0 4- /3,j est nombre positif de à 6). Il ne peut donc bien y avoir 

 que l'une ou l'autre des solutions : B = si R est positif et B = 1 si R 

 est négatif. 



