158 THÉORIE MATHÉMATIQUE DE l'ÉCHELLE MUSICALE 



Tels sont par exemple entre eux une seconde majeure x, une 

 tierce majeure x'- et une quarte augmentée x^ ou une quinte 

 diminuée x'-y- à l'égard d'une tierce mineure xy, ou une 

 10™* diminuée x'^y* (telle ut,-mii'') à l'égard d'une 7"* mineure 

 x^y- (ut^-sio''), dont l'étendue est les ■ ^ de la précédente, etc. 



Sur base d'un rapport d'étendue donné, rationnel ou non, 

 entre deux intervalles indépendants quelconques, toute l'échelle 

 des notes et des intervalles peut être déterminée relativement 

 à l'un d'eux pris comme unité ; dès lors la valeur numérique 

 d'un seul d'entre eux, l'octave par exemple, suftira à préciser 

 celle de tous les autres. 



Ainsi les valeurs numériques de l'octave et de la quinte suffi- 

 ront à déterminer celle du comma par exemple et de tout autre 

 intervalle ; leur rapport d'étendue sufi&t même à préciser à leur 

 égard, la grandeur relative du comma ou de tout autre intervalle. 



Mais à défaut d'une telle relation, il est impossible de gra- 

 duer l'échelle au-delà des 12 intervalles principaux définis aux 

 § 2 et 3. A supposer même connu le sens du comma, autre- 

 ment dit, définie celle des chaînes de commas précitée § 5, qui 

 est ascendante ou vice-versa, certaines notes, telles un sol*^ et 

 un fa* pourraient bien être classées par ordre de hauteur res- 

 pective, mais il ne sera pas possible de fixer, sans autre donnée, 

 la position de ces notes relativement à toutes les précédentes. 

 Un comma de sens positif indique par exemple que le sol^ est 

 plus bas que le ïafi ; mais sans lui assigner des limites beaucoup 

 plus restreintes que celles envisagées au § 3, il ne précise pas 

 qu'un sol'' soit obligatoirement une note plus élevée que le fa. 

 Il s'agit, non de donner à entendre par là que le sol'' des musi- 

 ciens puisse être inférieur à leur fa, mais de faire ressortir le 

 fait que, pour qu'il en soit autrement, il faut admettre entre 

 certains intervalles des relations plus étroites que celles définies 

 jusqu'ici. Leur existence, d'ordre physique et esthétique, est 

 confirmée par la constatation d'un comma se mouvant entre 

 des limites très restreintes ; mais expérimentalement et en tant 

 qu'il ne soit pas nul, son sens même reste indéterminé ou varia- 

 ble et par suite il est impossible cV intercaler, avec certitude, plus 



de 12 d>'grés dans l'échelle d'un octave. 



(A suivre) 



