THEORIE MATHÉMATIQUE DE l'ÉCHELLE MUSICALE 241 



seconde majeure x et mineure y le composant, c'est-à-dire par 

 les équations : 



z, = x^'y*" , zo = x'^'^y^'- et Z3 = x*«yb» 



En éliminant entre ces 3 équations les variables x et y on 

 obtient la relation fondamentale : 



(éq. I) 



Z3 



dans laquelle Xi, X», X3 sont des exposants entiers ± déterminés 

 par : 



I À^ = a^bo — a2b3 



j ^2 = aibs — asbi 



[ A3 = agbi — aib2 

 ou 



Z| Z2 Z;^ 



et si l'un des intervalles est l'octave, c'est-à-dire si l'on pose 

 Z3 = Z(,, conséquemment ag = 5 et bg = 2, cette équation fon- 

 damentale pourra s'écrire : 



2ai — 5bi asbi — aibi 

 (éq. II) 



équation qui définit la valeur d'un intervalle quelconque z^ en 

 fonction de celles de l'octave et d'un autre intervalle Zg, pour 

 autant que z^ et Zg soient indépendants. 



Dans le langage conventionnel admis plus haut, les deux 

 équations I et II ci-dessus s'énonceront : 



L'intervalle formé de \ intervalle z^, Xj intervalle s, et Xg 

 intervalle z^ est nul, conséquemment : 



Deux intervalles quelconques z^ et z„, définis par les nombres 

 aj, ag et b^, K de secondes majeures et mineures qui le com- 

 posent jouissent de la p?'op?iété que (2a., — ÔhJ intervalle z^ 

 diminués de (2a^ — ôb^) intervalle z^ sont toujours égaux à 

 (a., h^ — a^ h.-,) intervalles d'octave. 



De cette équation générale sous la forme II, on déduit entre 

 autres les suivantes : 



ai 6bi — 2ai 



Zj =Zo" y '' (éq. II a), déterminant un intervalle quelconque Zj en 

 fonction des intervalles d'octave et de seconde mineure y ; 



