THÉORIE MATHÉMATIQUE DE l'ÉCHELLE MUSICALE 243 



OÙ Nj et Ng sont nombres entiers ^ ) le troisième intervalle Zj 

 deviendrca puissance rationnelle des deux autres, conséquein- 

 ment tous les intervalles de l'échelle seront puissances ration- 

 nelles les uns des autres. Autrement dit : Si deux intervalles 

 indépendards prennent dans un système d'échelle particulier le 

 caractère de conicidence périodique, ce caractère s'étendra à tous 

 les intervalles de l'échelle, si loin soit-elle développée. 



Ainsi si l'on avait la quinte z = z,,^ où N et M sont nombres 

 entiers ±, un intervalle quelconque deviendra puissance ration- 

 nelle de l'octave, de la quinte et tous les autres, et sera exprimé 

 en fonction de M et N, d'après l'équation II c, par : 



(3bi - ai) M+(2ai- 5bi) N 



_ M ~ (éq- n C his) 



Zj = Zq 



ou si l'on a un comma 



oii — est une fraction rationnelle, tous les intervalles, puis- 

 m 



sauces rationnelles les uns des autres, seront exprimés en fonc- 

 tion des nombres entiers ±n et m, d'après l'équation Ile, par : 



(•2ai+l>i)m+C2ai— 5bi)n 



Z, = Zo \^ ' (éq. II e his) 



Toutes les expressions des intervalles correspondant à l'échelle 

 de 25 notes sont indiquées, pour semblables cas, sous colonnes 

 8 et 9 du tableau 11° I, 



n 12X--7M 



le comma y devenant c = zo™ = z„ ^ 



7m + 11 X 



la quinte y devenant z = zo ^^"^ ~ z/^ 



5m — n M — N 



la quarte y devenant _ 1^ = ~^r 



Z4 Zq Zy 



et ainsi de suite pour la tierce majeure, la tierce mineure et 

 tous les autres intervalles. 



Dans de semblables échelles les successions parallèles de 

 deux intervalles quelconques coïncident périodiquement, tandis 

 que dans l'échelle algébrique générale cette coïncidence pério- 



