244 THÉORIE MATHÉMATIQUE DE l'ÉCHELLE MUSICALE 



dique seront celles groupées plus l^in sous la dénomination 

 abrégée de systèmes périodiqties, par opposition aux autres 

 « apériodiques » . 



Dans ce cas, le plus petit commun dénominateur des rapports 

 d'étendue des divers intervalles, relativement à celui d'octave, 

 est égal au nombre de notes, alors limité, de l'échelle ; c'est le 

 nombre M figurant au dénominateur du rapport rationnel irré- 

 ductible de l'étendue de la quinte ou de la quarte à l'égard de 

 l'octave. 



Si l'échelle était définie par c = z^,™, le nombre M de notes 

 différentes sera l'expression 12 m divisée par son plus grand 

 commun diviseur avec celle 7 m -f ii> qu'il soit égal ou su])é- 

 rieur à 1. Ainsi si l'on avait c = Zf,'--, c'est-à-dire n = 1 et 

 m = 25, soit 12 m = 300 et 7 m + n = 176, le commun divi- 

 seur est 4, en conséquence le nombre des notes serait 



M = ^=76 

 et l'expression de la quinte deviendrait 



I7t> U 



Z = Zq Zq 



Ces points s'éclaircissant par la suite, j'en passe ici la démons- 

 tration, pour abréger. 



Que le système d'échelle soit périodique ou non, l'équation I 

 permet donc de déterminer la valeur de tout intervalle z,, 

 d'après celle de deux autres quelconques z„ et Zg, toutefois 

 indépendants entre eux, qu'ils le soient ou non k l'égard de z,, 

 autrement dit que Àg ou X^ soient ou non différents de 0. Par 

 contre si X^ était nul, c'est-à-dire si agb, — aj b, = 0, par suite 



ao _ b, 

 as "~ I13 



les intervalles z^ et Zj ne seraient pas indépendants entre eux 

 et Zj resterait indéterminé. 



En outre, cette équation I se prête à établir diverses pro- 

 priétés, dont celles examinées au § suivant : 



