THÉORIE MATHÉMATIQUK DE l'ÉCHELLE MUSICALE 245 



§ 8. — Décompositions spéciales d'un intervalle, en pariiculier 

 sous forme rationnelle de deux autres 



Au § 5 a été traitée une décomposition spéciale, transformant 

 l'expression algébrique d'une note ou intervalle quelconque en 

 celle de l'orthographe musicale. Nous nous limiterons ici, sur 

 base de l'équation fondamentale I, à la décomposition d'un 

 intervalle en d'autres de deux types. 



Tout d'abord, il est évident qu'un intervalle donné z^ pourra 

 toujours être exprimé au moyen d'un autre quelconque z, et 

 d'un troisième Zg, ce dernier alors défini par z^ = z,— ^ Zg , 

 autrement dit défini par ag = a^ d= a^ et bg = b^ ± b,, , ou 

 plus généralement par 



aibj — asbi 



+1 H 

 Z, = Zo" 



_ „ rfcl rtoibs— a»bi) 



l'intervalle z^ étant à choisir de telle manière que X, = ± \ , 

 c'est-à-dire que 



bs ~ bi ±: bs 



En second lieu, s'il n'est pas possible de décomposer un 

 intervalle z^ en deux autres quelconques à choix, z^ et Zg , sans 



que le plus souvent les deux exposants rationnels t^ et t-^ de 



Al Al 



l'équation 1 bis restent fractionnaires, l'on peut se demander 

 comment z^ et Zg doivent être choisis de façon à composer 

 d'une manière rationnelle l'intervalle z^, quel qu'il soit. 



Cela revient à poser \ = ± 1, c'est-à-dire à rechercher 

 dans quelles conditions l'un ou l'autre des deux systèmes 

 d'équations suivants sera satisfait : 



\x," = 1 



A,' = -1 



A,' == ^2 ou j Ao" = — X-i 



X 3 :^^ A3 y A;-; X3 



c'est-à-dire (éq. IV) 



j aobg — ajbj = 1 [ a^bo — aob;. = 1 



I ajbg — agbi = X./ on \ agb, — ajbg = ^"2 > 



\ aob] — ajb, = X^' \ ajbo — a2bi = X"z 



Archives, t. XXXVI. — Septembre 1913. 18 



