246 THÉOKIK MATHÉMATIQUE DE l'ÉCHELLE MUSICALE 



équations auxquelles s'ajoutent les conditions admises que r^, 

 a,, , ag , bi , b, , ba . . . , soient entiers, positifs ou négatifs. 



De ce système d'équations, impossible à satisfaire quel que 

 soit Zi , si l'on avait simultanément a, et a^ = 0, ou simultané- 

 ment b, et bg = (cela reviendrait en effet à vouloir décom- 

 poser tout intervalle en un nombre entier de secondes mineures 

 ou en un nombre entier de secondes majeures) il résulte que la 

 décomposition cherchée sera, entre autres, possible dans les 

 cas suivants : 



1° Si bg = et bj = 1 ce qui entraîne la condition aj = =t 1, 

 ou si a, = et a.^ == 1, d'oii b, = =h 1. C'est la décomposition 

 d'un intervalle quelconque Zj en secondes majeures, respecti- 

 vement mineures d'une part, et eu une succession de l'un des 

 intervalles xy , x-y , x^y , x\y , x*y , etc., soit tierce mineure, 

 quarte, quinte, etc., respectivement en une succession d'inter- 

 valles xy, xy-, xy% etc., soit tierce mineure, quarte dimi- 

 nuée, quinte doublement diminuée (ut sol''*^), d'autre part, par 

 exemple en : 



a) bi quartes et (a^ — 2bi) secondes majeures, décomposition 

 vérifiée par l'identité : 



xayl) = (x2y)bx(a-2b) 



h) bi quintes et (a^ — 3b,) secondes majeures, décomposition 

 vérifiée par l'identité : 



xayb = (x3y)bxi:i-3b) 



2" Si a„ = 1 et b.3 = — 2, ce qui correspond à la décomposi- 

 tion de l'intervalle quelconque z, en (Sa^ -j- bj commas et 

 (2 a^ + bi) diastèmes ', vérifiée par l'identité : 



x^y^ = (xy--)i3"' + '"(x-ïy-'')<-* + ^' 



3» Si ba = 1 et bg =^ 1, simultanément, conséquemment 

 a, = ag ± 1, ce qui correspond à la décomposition de n'im- 



' Cette décomposition permet le raccordement de notre étude à celle 

 précitée de M. Prévost, où les expressions de comma et diastème ne 

 désignaient toutefois que leurs valeurs numériques spéciales dans 

 l'échelle de Pythagore. Leur signification peut cependant y être géné- 

 ralisée, la quinte devenant z = c'" d", l'octave Zo = c'' b'-, mais l'on 

 reconnaîtra que ces expressions algébriques sont autrement moins 

 explicites que celles en fonction des secondes majeure et mineure. 



