THÉORIE MATHÉMATIQUE DE l'ÉCHELLE MUSICALE 247 



porte quel intervalle z^ en successions de quartes et quintes, 

 quiutes et sixtes, sixtes et septièmes, et notamment eu (a, 

 — 2b,) quintes et (Sb, — sl^) quartes, que vérifie l'identité : 



xay^ = (x3y)(a-'-'b.(x2y)(3b-ai 



4" Si a^ = 5 et b., = 2, c'est-à-dire si l'un des intervalles z^ 

 est l'octave, les deux systèmes d'équations (IV] à satisfaire 

 ci-dessus deviennent : 



( 232 - 5b2 = 1 ( 5b2 - 2a2 = 1 



I 2a, - 5b, = A,' et 5b, - 2ai = A.," 

 [ asb, — a,b2 = A3' [ a,b2 — aob, = A3" 



La première équation de l'un et l'autre système, soit 5b„ 

 = 2a2 + 1 montre tout d'abord que b, est un nombre impair : 

 bg = 1 + 2X oii X est un nombre entier (=t). 



Conséquemment on aura ôbg = 2a2 =t l = lOÀ -j- 5, autre- 

 ment dit : a/ = 3 -|- 5X et a," = 2 -[- 5X. 



Leur deuxième équation donne directement les deux seules 

 valeurs possibles de X., , quant à la troisième, après introduction 

 des valeurs de a^ et K , elle devient : 



A3' = (3b, - a,) - (2a, - 5b,)A et A3" = (a, - 2b,) - (5b, - 2a,)A 

 OU combinée avec la deuxième multipliée par X, elle devient : 



Ào'À + A3' = 3b, - a, et À.2"À + A3" = a, - 2bj 



On pourra alors écrire pour l'intervalle z„ , l'une ou l'autre 

 des expressions : 



Zo' = xa^'ybî' = x3 + ô'yl + 2> = x3y(x5y2p 



qui est celle d'une quinte, augmentée de X (±) octaves 



Zo" =--^ a/'yb!" = x2 + 5-^yl + -2/ = x-y(x5y2)"' 



qui est celle d'une quarte, augmentée de X (±) octaves et un 

 intervalle quelconque z^ sera, après introduction de ces der- 

 nières expressions dans l'équation générale I : 



Zi = x"yl" = rx3y[xôy2)-']-.'(x5y-')>,' = (x3y)"'(x5y-')>//+/ 

 = (x3y)2iii-5bi(x5y2)3bi-ai 



ou 



z, = x^"ybi = [x2y(xY-)']"- "(x5y2)-3" = (x2y)'^"(x5y2)' •' = " + ■'>" 

 = (x2y)5bi-2:u(x5y2)ai-2bi 



