248 THÉORIE MATHÉMATIQUE DE l'ÉCHELLE MUSICALE 



Ainsi un intervalle quelconque, soit x"* y**, peut être décomposé 

 en (2a — 5b) quintes et (3b — a) octaves, ou (5b — 2a) quartes 

 et (a — 2b) octaves et parmi les intervalles indépendants qui 

 groupés deux à deux permettent d'exprimer tous les autres 

 d'une manière algébrique rationnelle, la quinte ou la quarte 

 sont les seuls juxtaposables à l'octave. Etant considérées 

 comme semblables des notes ne dilîérant que d'un ou plusieurs 

 octaves, les successions ascendantes et descendantes de quintes, 

 respectivement de quartes, ou aussi de quintes et quartes ascen- 

 dantes, respectivement descendantes, parcourent toute l'échelle 

 des notes, si loin soit-elle poussée. 



Cette propriété, appliquée enfuit de diverses manières en théorie 

 musicale ou pratiquement par les accordeurs et appartenant d'une 

 manière générale exclusivement aux quintes et quartes, est donc 

 indépendante de leur valeur numérique. 



En particulier les 12 premières quintes ascendantes à partir 

 d'ut donnent toutes les notes naturelles, sauf le fa, et toutes 

 les notes simplement diésées, c'est-à-dire jusqu'au si' ; les 12 

 premières descendantes donnent le fa et toutes les notes bémo- 

 lisées (la huitième donne le fa^) jusqu'au ré^^, symétrique du si*. 



II. — Forme et propriétés particulières 



DE DIVERSES ÉCHELLES 



Les échelles mathématiques basées sur l'égalité des quintes 

 ou des quartes, intervalles jouissant alors de la propriété d'être 

 les moins variables dans celui d'octave tixe et de déterminer 

 par leurs successions toutes les notes de l'échelle, si loin soit- 

 elle poussée, présentent une multitude de cas particuliers, dont 

 un certain nombre sont examinés d'après la classification (lui 

 suit : 



§ 9. — Les systèmes périodiques 



Les systèmes périodiques définis à la fin du § 7, dans lesquels 

 deux intervalles indépendants quelconques ont comme rapport 

 d'étendue une fraction rationnelle, dont toute l'échelle peut se 



