THÉORIE MATHÉMATIQUE DE l'ÉCHELLE MUSICALE 249 



N 



calculer, par exemple sur base d'une quinte z = Zo"^ ou d'un 



comma c = z„"\ au moyen des équations établies au § 7 et 

 résolues en partie, sous colonnes 8 et 9 du tableau I (PI. III), 

 ont entre autres les caractères suivants : 



1° Entièrement développés ils formeront une échelle de M 

 notes différentes et équidistantes, présentant par conséquent, 

 par rapport à n'importe quelle note prise comme tonique, les 

 propriétés de symétrie envisagées au § 4. 



1 1 



L'intervalle zj^^, commun diviseur de tous les autres z^ à 



M 



z/\ le «pas de l'échelle», répété successivement, détermine 

 évidemment toutes les notes, aussi bien que les successions de 

 quintes ou quartes dans le système algébrique général. Son 

 type, c'est-à-dire son expression en fonction d'x et y, sera 

 détini en égalant à 1 le numérateur de l'exposant au second 

 membre de l'équation II c. bis, autrement dit en déterminant 

 les nombres a de secondes majeures et b de secondes mineures 

 satisfaisant l'équation : 



(éq. V) a(2N-M) + b(3M - 5N) = 1 



qui, pour être soluble, présuppose les nombres entiers (±) N 

 et M sans commun diviseur autre que l'unité, autrement dit 

 « premiers entre eux ». 



2" Comme corollaire de ce qui précède, une échelle périodique 

 présente un nombre fini et déterminé de degrés, pouvant s'ex- 

 primer par un nombre infini d'expressions algébriques diffé- 

 rentes ; ce sont celles des notes synonymes du système, dénomi- 

 nation s'entendant ici dans son sens exact, et non dans celui 

 d'approximation que lui décerne parfois la littérature musicale. 

 Seront appelés premiers synonymes ceux dont les accidents, 

 diésés ou bémolisés seront les plus simples. 



Du fait de manque de symétrie dans la désignation des notes, 

 constaté au § 4, il y aura parfois une différence d'un degré 

 dans les accidents des deux premiers synonymes, l'un diésé, 

 l'autre bémolisé, d'une note naturelle. Quant au degré même 



