250 THÉORIE >LA.THÉMATIQ,UE DE l'ÉCHELLE MUSICALE 



de ces premiers synonymes, il dépendra du système périodique 



particulier : 



1_ 



Ainsi si z = z/^ les premiers synonymes d'un fa^ naturel 



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sont un mip'f et un sol''*', tandis que si z = Zo"^ les premiers 

 synonymes d'un fa^ naturel seront un Za_/« et un réi»^(^). 



3° Deux notes synonymes quelconques suffisent à définir 

 toute l'échelle d'une manière relative. Ainsi si l'on a la relation 



utS = la'b , soit - = x\ ( - ) 



il en résulte x^ = y', relation qui définit la même échelle que 



3t 



celle ci-dessus oii z = z^, '^. 



4° Une échelle périodique peut être, dans certaines condi- 

 tions, entièrement définie par le nombre de ses notes, tout au 

 moins d'une manière relative. Cela dépendra du nombre même 

 de ces notes. On ne saurait cependant prétendre à ce que 

 n'importe quelle division de l'octave en parties égales soit une 

 échelle de sons rentrant dans les limites et conditions formulées 

 plus haut. 



Eu égard à l'écart maximum possible de la quinte, inférieur 

 selon § 3 à ^ 35 d'octave, il y aura tout au plus une seule échelle 

 pouvant s'adapter à un système inférieur à 35 notes, tout au 

 plus deux dans un système de moins de 70 notes, le nombre 

 maximum de solutions possibles étant égal au premier nombre 

 entier qui, multiplié par 35, donne un nombre supérieur à celui 

 des notes. Mais, vient en outre, la condition que l'équation V 

 soit satisfaite, que N et M soient « premiers entre eux ». 

 Ainsi une échelle de 301 degrés est concevable tout au plus de 

 9 manières ; mais en réalité il n'y en a que 8 possibles, corres- 

 pondant à une quinte de 173 à 180 degrés, le nombre 172 ayant 

 avec 301 le commun diviseur 43. Si sur ces bases l'on examine 



' Ces exemples sont empruntés aux deux échelles particulières trai- 

 tées plus loin, celle uniformément tempérée de 12 intervalles et celle 

 définie par un comma de '/s tle ton. 



