THÉORIE MATHÉMATIQUE DE l'ÉCHELLE MUSICALE 251 



les échelles périodiques possibles à concurrence de 53 notes, 

 on devi'a en exclure toute division d'octave en : 



1, 2, 3, 4, G, 8, 9, 10, 11_, 13, 14, 15, IG, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 

 28, 30, 34, 35, 36, 38, 44, 48, etc. 



dont les nombres soulignés ne peuvent correspondre à aucun 

 nombre entier N compris dans les limites voulues et dont les 

 autres ne présentent, dans ces limites, aucun nombre N sans 

 commun diviseur avec M. 



Dans ces conditions, une division de l'octave en 24 parties, 

 par exemple, n'est pas possible ; par contre, à supposer des 

 raisons sérieuses de sortir de la gamme tempérée de 12 notes, 

 il n'y aurait pas d'impossibilité à envisager les échelles pério- 

 diques suivantes, dont les deux premières sont celles « limites », 

 et dont est chiffrée la valeur de la quinte pour z^ = 2. 



Dans cette série d'échelles, nous voulons examiner tout 

 d'abord et plus particulièrement celles dont l'intervalle com- 



mun diviseur est un comma, c'est-à-dire où c = z^ , satisfai- 

 sant par suite à l'équation V en y introduisant a == 1 et 

 b = — 2, conséquemmeut, à la relation particulière : 



12N - 7M = 1 ou M 



12N 



OÙ M est en même temps que le nombre de notes, celui m de com- 

 mas divisant l'octave, en conséquence N le nombre de coramas 

 entrant dans l'intervalle de quinte. Cette condition implique 

 que M = m = 12[j. + ô où «jl, nombre entier (±), est le nom- 

 bre de commas entrant dans la seconde mineure y, cela est 

 aisé à voir. 

 D'ailleurs, pour qu'un intervalle x^ y'^ soit divisible exacte- 



