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THEORIE MATHEMATIQUE DE L ECHELLE MUSICALE 



meut eu ,o commas, il faut que sou expression, selon équa- 

 tion Ile bis soit égale à 



n 



c' = z/ m 



autrement dit que soit satisfaite la relation : 



Q = 



(2a - 5b) + - (2a + b) 



12 



Cette équation sera satisfaite, quels que soient a et b, c'est-à- 

 dire pour n'importe quel intervalle, si l'on pose n = 1 et 

 et m = 12(1 + 5, où <^ sera un nombre entier quelconque (±), 

 et l'on aura f> =- a (2a -j- 1) — blJ- 



Ainsi, si l'ociare est décomjwsahie en un nombre de commas 

 impair, égal à 5 plus ou moins un multiple de 12, soit de la 

 forme 12|jl + 5, tous les intervalles de l'échelle seront aussi 

 décomposaUes en un nomlre entier de commas égal à 

 (2a — 1) — ba, en particulier la seconde mineure en a com- 

 mas, la seconde majeure en 2[a -f 1, la quarte en 5a — 2, la 

 quinte en 7^. + 3, la 7' majeure en ll[x + 5 commas, etc. 



Réciproquement, d la seconde mineure est décomposahle en 

 commas, il en sera de même xjour tous les intervalles. 



Parmi les échelles périodiques graduables en commas sont 

 les suivantes : 



m = M = 12,« + 5 = 

 { en fonct. de Zo : 



z = 



de la sect. min. 

 de l'octave : 

 du comma : 



-1 



-7 



y 



z«V' 



Zo'/' 



Echelle n'^ 



(1) 





 5 



1 



17 



Zo'/"' 



z„V.' 



(2) (3) 



2 

 29 



ZoV» 

 yV.- 

 ZoV- 



z„"/« 



3 

 41 



Zo'/" 



y'/' 



Zo'" 



Zo"/" 



4 

 53 



ZoV» 



yV' 



Zo*/» 



c* 







65 



Zo"/«' 



ZoV«» 

 C* 



z„"/- 



(4) I - 



6 

 77 



Zo'V" 



y"/' 



Zo'/" 

 Zo"/" 



7 

 89 



Zo"» 



y'V' 



Zo'/" 



C' 



Zo».. 



De ce groupe, les échelles sous n° (1) et (2i sont celles limites 

 traitées au § 3. 

 Celle sous w° (3) où 



1 , M = 17, X = y-', 



y = z« 



etc. 



etc. 



