254 THÉORIE MATHÉMATIQUE DE l'ÉCHELLE MUSICALE 



échelles dans lesquelles i^M — 2) doit être un multiple de 5 et 

 qui sont d'ailleurs les seules déconiposables exactement en 

 secondes mineures ; on peut d'ailleurs le vérifier en posant 

 dans l'équation II a : 



z, = y-:-'' et Zo = y-^i 

 ce qui conduit à la relation 



/«*i = — ï — a, + b, 



montrant qu'un intervalle quelconque sera toujours divisible 

 en U.1 secondes mineures, quels que soient les nombres a et b 

 de secondes majeures et mineures qu'il comprend, si l'octave 

 est composé d'un nombre M de secondes mineures, tel que 

 (M — 2) soit divisible par 5, c'est-à-dire pris dans la série 

 des nombres ci-dessus. 



Si le ])his petit intervalle devait être simultanément la seconde 

 mineure et le comma, l'équation V deviendrait l'une ou l'autre : 



/ 3M - 5N = 1 ) 

 \ 12N - 7M = 1 j 



ne pouvant être satisfaites simultanément que par M = 17 et 

 N = 10, échelle déjà traitée plus haut. 



Par contre si l'échelle devait être divisible simidtanénent en 

 commas et en M secondes mineures, sans que l'un et l'autre in- 

 tervalles coïncident comme le plus petit degré de l'échelle, il 

 faudrait satisfaire l'équation aM = 12a -p 5 dans laquelle 

 M — 2 soit un multiple de 5, c'est-à-dire où M = 5 k -[- 2 ; k 

 est un nombre entier positif devant répondre à la condition 



k = 2 -^ - , qui ne peut être satisfaite, en dedans des limites 



du § 3, que par a = 1, k = 3, M = 17, ou par <^. = c>c, k = 2 

 et M = 12. 



Cette dernière est l'échelle de 12 notes, dite du demi-ton exact, 

 caractérisée par c = 1, autrement dit dans laquelle 12 quintes 

 sont égales à 7 octaves et 



i 1 L 



X = Zo , y = Zo , Z = Zo 1 6tC. 



