DANS UN FIL ÉLASTIQUE. 99 



qui satisfait à (I). A est une constante. La série, abstrac- 

 tion faite de A et a, et supposée divisée par quatre, est le 

 développement en série de Fourier de la fonction 



en désignant par z la variable x -\- al ou rr — at. Remar- 

 quons que cette série ne donne cette valeur pour y que 

 lorsque z est compris entre — / et-f-^- Pour une valeur 

 de 2 comprise entre -|-/ et 3/, il faut remplacer dans î/, 

 z par z — 2/, puisque la série a pour période 2/. Il en 

 est de même pour une valeur négative de z comprise entre 

 — /et — 3/. On a 





- . 7r(a; 4- at) 1 . 2tz(x -\- at) 



s,„ -^j -^ s,n — ^ — . 



, . Tz(x—at) 1 . ^Tzix — at) 



Cette série supposée divisée par 2 et abstraction faite 

 de A est le développement de la fonction z. Il s'agit main- 

 tenant de montrer que u satisfait aux conditions du pro- 

 blème. 



En premier lieu aux conditions initiales 



{' 



-u = Q, quel que soit x, ce que l'expression (2) 



n . A.i fend évident. 



Pour/ = Oj| ^,^ 



^ = 0, quel que soit x, sauf pour x = l. 

 dt 



En faisant / = dans (3), x étant compris entre Oet 

 /, la série donne les valeurs 



A{x -j- «0 ^{^ — ^0 



2 2 



dont la somme Xx prise avec le signe — détruit le pre- 



