14 DÉFINITIONS, MÉTHODES ET PROBLÈMES MATHÉMATIQUES 



Le célèbre traité de Christoffel, Sur la transformation des 

 expressions différentielles homogènes du deuxième degré, 1869 

 (Journal f. Math. 70) et le travail trop peu remarqué de Ricci et 

 de Levi-Civita, 1901 (Math. Ann. 54) où les auteurs exposent 

 une méthode pour donner aux équations différentielles de la 

 physique une forme indépendante des coordonnées, sont, 

 pour le sujet qui nous préoccupe, d'une importance fondamen- 

 tale. 



Le développement ultérieur de l'analyse vectorielle a rais en 

 lumière les avantages qu'il y a à traiter cette branche au point 

 de vue général de la théorie des invariants, puisque cette der- 

 nière intervient dans tous le système des notions de l'analyse 

 vectorielle et du même coup marque la place naturelle des nou- 

 velles conceptions introduites par Minkowski, Sommerfeld, 

 Laue, etc., dans le monde à quatre dimensions de la théorie de 

 la relativité. 



Il ne saurait être question ici de développer l'application des 

 méthodes de la théorie des invariants à l'analyse vectorielle, je 

 me bornerai à montrer la différence des méthodes sur les no- 

 tions et les théorèmes les plus simples de l'analyse vectorielle. 



La définition même de vecteur manque souvent de précision 

 et de généralité, elle n'est pas susceptible d'extension. En défi- 

 nissant le vecteur comme une grandeur dirigée, déterminée par 

 ses composantes suivant trois directions rectangulaires, on se 

 restreint sans nécessité à l'espace euclidien, le seul oii « direc- 

 tion » ait un sens immédiat. 



On obtient une meilleure définition en se représentant un 

 vecteur variable en grandeur et en direction de point en point, 

 c'est-à-dire un champ vectoriel. 



Ses trois composantes 



Ai{xi , X2 , xs) (i = 1 , 2 , 3) 



sont des fonctions du lieu, les transformations qu'elles subissent 

 lors d'une rotation du système de coordonnées sont essentielles. 

 Cette rotation est exprimée par une substitution orthogonale 



v'i = 2] P*'-'^* (i , fc = 1 , 2 , 3) 



