16 DÉFINITIONS, MÉTHODES ET PROBLÈMES MATHÉMATIQUES 



On peut déduire ces notions et d'autres encore d'une façon 

 plus satisfaisante en abandonnant les coordonnées cartésiennes 

 pour introduire des coordonnées curvilignes quelconques. 



L'élément de ligne s'exprime alors par 



ds'- = y] guidxidxk 



ik 



Le caractère de généralité de cette forme différentielle qua- 

 dratique permet de ne pas se préoccuper de ce que l'espace soit 

 euclidien, non euclidien ou même à courbure variable. 



Par une transformation de coordonnées : 



ou une transformation des différentielles 



dx. 



dxi = ^ yr dx'k = ^ piudx'k 



OU résolue 



dx 



'i = ^ X — dxk = ^ Jikidxk 



les coefficients de l'élément de ligne se transforment suivant les 

 formules : 



ik 



si l'on suppose que l'élément de ligne est un scalaire. 



Nous déterminerons de nouveau un vecteur par trois fonctions 

 Ai (iCi, x^, x^) qui se transforment suivant les formules 



A'i = V pkiAk' 



k 



et nous constatons que les coordonnées ne constituent plus de 

 vecteur, que leurs différentiels se transforment différemment, 

 parce que les quotients différentiels partiels izià sont différents 

 des pki. C'est pourquoi nous appellerons A : vecteur covariant. 

 Les différentielles des coordonnées constituent, au contraire, 

 un vecteur contr avariant, nous constatons immédiatement 

 l'utilité de ce dualisme. 



