18 DÉFINITIONS, MÉTHODES ET PROBLÈMES MATHÉMATIQUES 



Soient A^, A.,, A3 les composantes d'un vecteur covariant, le 

 problème consiste à déduire du vecteur, par une différentiation, 

 un scalaire, c'est-à-dire un invariant absolu. Dans ce but, for- 

 mons d'abord, d'après Christoffel, 1' « extension » (Erweiterung) 

 du vecteur, c'est-à-dire le tenseur covariant de deuxième rang 



A,, = ^ > ;. r-M ^ + ;s^ -^ A/. = ^^ > ' , Aa 



,i< '-■ 



puis le scalaire 



div A = 2j y-'A-rs 



auquel on peut donner la foi-me 



div A = y, — _ ^ {.Vg yrsAr 





Il en résulte, comme extension du vecteur, lorsque l'élément 

 de liane est euclidien 



A.. = ^- 

 dx> 



et comme divergence 



,. ^ aA, , aAo 3A, 



div A = ^^ h ô \- ^ — 



àXi dx.j 3X3 



Je prends encore, comme exemple, les notions de l'analyse 

 vectorielle relatives au champ d'un scalaire. 

 Soit rp (a?i , X2 , X3) un scalaire, alors 



dm ^ 9(n , 9g3 



dœ = ~ dxi + ~- dxo + :— - dx^ 



^ 9a;, Sxo ' '^x-i 



en est aussi un. Comme les dxi constituent un vecteur contra- 



variant, il faut que les r^ forment un vecteur covariant que 



nous appellerons le Gradiant de 9. 

 Comme carré de sa valeur nous avons le scalaire 



Zd ^ ' Sxr 9a;. 



c'est-à dire le premier paramètre différentiel de Beltrami, qui, 



