LA GÉOMÉTRIE DES FEUILLETS « COTES » 19 



En effet, soit a l'angle et k la plus courte distance des droites 

 G et r. Puisque ces droites sont complémentaires, ou a entre 

 leurs cotes la relation : 



g -\- y = k tang « . (5) 



D'autre part, sil est la perpendiculaire commune aux droites 

 G et r, et si to et h sont la rotation et la translation néces- 

 saires pour amener le feuillet F en coïncidence avec 4> (au 

 moyen de l'axe I), on a évidemment : 03 = 2ot, et/« = 2k. Enfin, 

 les cotes des feuillets F et <t> satisfont aux relations : f = 2g et 

 «p ^ 2'(. En introduisant ces valeurs dans la relation (5), celle- 

 ci devient : 



f m h 6) 



- + - = - tang , 

 2 2 2^2 



c'est-à-dire : 



f + (p = k tang -^ . 



Or, cette dernière relation exprime précisément que les 

 feuillets F et <i> sont complémentaires l'un de l'autre. Le lemme 

 est donc démontré. 



Remarque. — Nous nous sommes appuyés, pour la démons- 

 tration ci-dessus, sur le fait que les cotes / sont doubles des 

 cotes g. Ainsi, se trouve justifiée la notion que nous avons intro- 

 duite d'un feuillet coté F (/) symétrique d'un feuillet F^ par 

 rapport à une droite cotée G (g). 



Revenons maintenant à la démonstration du théorème II : 



Soit 4> (^) un feuillet complémentaire de 2 feuillets donnés 

 Fi (/i) et F, (/„) , je dis que <ï> ('x) sera aussi complémentaire de 

 tous les feuillets de la monocouronne [F^ (/J , F^ (/,)]. 



Nous avons montré, dans un article antérieur, qu'étant 

 donnés 3 corps égaux €^,02,03, occupant des positions quel- 

 conques, il existe un corps C^ , et un seul, qui soit respective- 

 ment symétrique des 3 corps donnés par rapport à 3 droites 

 Gj^ , G2 , G3 , convenablement choisies (^). 



Construisons donc le feuillet F^ respectivement symétrique 

 des 3 feuillets donnés F^ , F^ et <ï> , et soient G^ , G, et F , les 



') Voir Arch. des Se. Ph. et Nat., t. XXI, p. 44. Cette proposition a 

 d'ailleurs déjà été établie par Halphen, sauf erreur. 



