110 LA GÉOMÉTRIE DES FEUILLETS « COTÉS » 



jouit précisément de la propriété voulue, puisque, si l'on joint 

 deux génératrices quelconques d'un bifaisceau au moyen d'un 

 monofaisceau, celui-ci fait lui-même partie du bifaisceau(^). 



Considérons donc un feuillet fixe Fq et un bifaisceau de 

 droites cotées G (g), et construisons tous les feuillets F(/) 

 symétriques de Fo par rapport aux différentes droites Gr(^): je 

 dis que les feuillets F(/) forment une bicouronne. En effet, 

 ces feuillets forment une bisérie. De plus, soient F^ (/j) et F^ (/g) 

 deux feuillets quelconques de cette bisérie, et soient Giig^) et 

 Ggl.^'a) les droites correspondantes du bifaisceau; nous savons 

 que le monofaisceau [Gi(^J, (jf2i.92)] f^it partie du bifaisceau; 

 donc, les feuillets F(/) symétriques de F^, par rapport aux 

 génératrices de ce monofaisceau forment une monocouronne 

 qui contient les feuillets Fj(/,) et ^.^{fo), et qui est située 

 dans la bisérie des feuillets F (/); cette bisérie est donc une 

 bicouronne. (C.Q.F.D.) 



De ce mode de construction de la bicouronne il résulte que 

 l'on pourra déduire la plupart des propriétés de la bicouronne 

 de propriétés correspondantes du bifaisceau, lesquelles sont 

 supposées connues. 



Cas particulier. — Lorsque toutes les droites G (g) du 

 bifaisceau générateur ont une cote nulle (ou plus généralement 

 une cote constante), ce bifaisceau se réduit à un système de 

 droites passant par un même point (gerbe de droites) ou situées 

 dans un même plan. La bicouronne se réduit alors à un couro- 

 noïde et cette remarque est très importante, car elle nous 

 montre que le couronoïde n'est qu'un cas particulier de la 

 bicouronne(-), comme la couronne n'est qu'un cas particulier de 



') Bail a démontré cette proposition sous une autre forme : {Theory of 

 Screws, p. 125l, il a montré que « toutes les génératrices d'un bifaisceau 

 qui sont parallèles à un même plan, forment un monofaisceau ». Cet 

 énoncé se ramène au nôtre, puisqu'il existe toujours un plan parallèle 

 à 2 génératrices quelconques du bifaisceau. 



-) Le couronoïde (voir Arch., t. OO- P- 00) est le lieu des feuillets F 

 symétriques d'un feuillet fixe Fg par rapport aux différents plans d'une 

 gerbe ; mais l'on peut, dans celte définition, remplacer les plans de la 

 gerbe par les droites de la gerbe. En effet, si est le centre de la 

 gerbe et F'o le feuillet symétrique de Fg par rapport au point 0, enfin 



