LA GÉOMÉTRIE DES FEUILLETS « COTES » 111 



la moiiocouroune. Nous allons voir en effet que toutes les pro- 

 priétés du couronoïde se retrouvent dans la bicouronne et s'y 

 retrouvent avec un plus grand degré de généralité, puisque la 

 bicouronue est une forme plus générale que le couronoïde. 

 Ainsi, par exemple, nous avons vu que a H feuillets déterminent 

 un couronoïde », mais cet énoncé suppose que les 3 feuillets sont 

 également situés par rapport à un point 0, puisque le couro- 

 noïde est un système qui peut être engendré par le déplacement 

 d'un feuillet F autour d\m point fixe (ou parallèlement à un 

 plan). Au contraire, avec la bicouronne. aucune restriction 

 n'est plus nécessaire, et nous pouvons établir la proposition 

 suivante : 



Théorème VlII. — Par 3 feuillets cotéa F, (fj, F,{1), F,{i,), 

 situés d'une manière quelconque dans Vespace, on peut faire 

 passer une bicouronne, et on n' en peut faire passer qu'une seule. 



Rappelons d'abord, qu'étant donnés 3 corps égaux C^, C^, C3, 

 situés d'une manière quelconque dans l'espace, il existe un 

 corps Cq et un seul qui soit respectivement symétrique des 

 corps Cl, C2, C3, par rapport à 3 droites G^, G,, G3, convena- 

 blement choisies. 



D'autre part, nous avons dit que deux corps sont cbnt^mres 

 lorsqu'ils sont symétriques l'un de l'autre par rapport à une 

 droite. On peut donc dire qnHl existe un corps C^ et un seul qui 

 soit contraire de 3 corps donnés C^, C , C^. 



Ceci posé, revenons à notre théorème : construisons le 

 feuillet Ffl contraire des 3 feuillets donnés F^, F,, F3, et 

 soient G^, G^, G3, les droites de symétrie entre le feuillet F,, 

 et chacun des feuillets F^, F^, F3 ; attribuons aux droites 

 G^, Gg, G3 des cotes g^, g^, g^ respectivement égales à la 

 moitié des cotes données f, /,, f\ nous obtenons ainsi 



si Z est un plan quelconque de la gerbe et G la droite perpendiculaire 

 en au plan Z, on voit immédiatement que le feuillet F symétrique de 

 Fq par rapport au plan Z est aussi symétrique de F',, par rapport à la 

 droite G. Lorsque le plan Z décrit la gerbe, la droite G décrit aussi 

 une gerbe et le feuillet F'o reste fixe puisque le feuillet F< et le point 

 sont tous deux fixes. Donc, un couronoïde peut être défini, soit par le 

 feuillet Fo et les plans d'une gerbe, soit par le feuillet F'» et les droites 

 d'une gerbe. 



