LA GÉOMÉTRIE DES FEUILLETS « COTÉS » 113 



Théorème IX. — Toute bicouronne contient une double infi- 

 nité de monocouronnes. En effet, cette propriété résulte immé- 

 diatement du fait que le bifaisceau générateur de la bicouronne 

 contient une double infinité de monofaisceaux(^). Lorsque le 

 bifaisceau générateur se réduit à une gerbe, les monofaisceaux 

 deviennent des faisceaux ordinaires, et l'on retrouve le théo- 

 rème connu : «tout couronoïde contient une double infinité de 

 couronnes ». 



Théorème X. — Par chague feuillet d'une bicouronne passent 

 une infinité ('^O ^^ monocouronnes, contenues dans la bicou- 

 ronne; les axes de toutes ces monocouronnes forment un conoïde 

 de PlUcker. 



Cette proposition résulte aussi directement des propriétés du 

 bifaisceau qui sert à engendrer la bicouronne : 1" « par chaque 

 droite d'un bifaisceau passent une infinité (oo^) de mono- 

 faisceaux, contenus dans le bifaisceau (■) » ; 2° k les axes de tous 

 ces monofaisceaux forment un conoïde de Pllicker))(^), 



Le théorème est donc évident, puisque l'axe de chaque mono- 

 eouronne coïncide avec l'axe de son mouofaiscean générateur. 



Lorsque le bifaisceau générateur se réduit à une gerbe de 

 droites, tous les monofaisceaux deviennent de simples faisceaux, 

 c'est-à-dire que la bicouronne devient un couronoïde et les 

 monocouronnes se réduisent à des couronnes. On retrouve 

 alors le théorème connu: « Par chaque feuillet d'un couronoïde 

 passent une infinité (oo^) de couronnes, contenues dans le 

 couronoïde; les axes de toutes ces couronnes forment un 

 faisceau de droites ». 



*) Nous avons vu que les génératrices d'un bifaisceau qui sont paral- 

 lèles à un plan forment un monofaisceau. 



^) En effet, par chaque droite d'un bifaisceau on peut faire passer 

 une infinité de plans, et chacun de ces plans est le plan directeur d'un 

 monofaisceau contenu dans le bifaisceau. 



^) En effet, à tout bifaisceau A correspond un bifaisceau B, tel que 

 les génératrices de A sont les axes des monofaisceaux contenus dans 

 B, et réciproquement. Si donc on considère tous les monofaisceaux de 

 B qui passent par une même génératrice, les axes de tous ces mono- 

 faisceaux sont perpendiculaires à cette génératrice, donc parallèles à 

 un même plan ; et comme ces axes appartiennent au bifaisceau A, ils 

 forment un conoïde de Pliicker. 



