114 LA GÉOMÉTRIK DE8 FEUILLETS « COTÉS » 



Théorème XL — Deux monocouronnes situées dans la même 

 hicouronne ont toujours un feuillet commun et un seul. Cette 

 propriété résulte évidemment du fait que 2 monotaisceaux, 

 situés dans un même bifaisceau , ont toujours une droite 

 commune et une seule(^). 



Théorème XII. — Si un feuillet 4> (^f ) est cotnplémentaire de 

 3 feuillets donnés i^(fi), F.Aï,,), F^iU)-! ^^ ^^^ aussi complé- 

 mentaire de tout feuillet appa^^tenant à la hicouronne déterminée 

 par les 3 feuillets donnés. 



En effet, soit F(/) un feuillet quelconque de cette bicou- 

 ronne. Construisons les monocouronnes [F(/), Y^if)] et 

 [Fjf/j, F3(/3)]: ces deux monocouronnes, faisant partie de 

 la bicouronne, ont un feuillet commun, que nous désignerons 

 par F^ (f). — Le feuillet <ï>(ï) étant, par hypothèse, complé- 

 mentaire des feuillets FJf) et F^if) sera complémentaire 

 de tous les feuillets de la monocouronne [F^(f), FjC/j)], donc 

 en particulier du feuillet F^(/^). Mais alors, le feuillet <i>(^f), 

 étant complémentaire de F^{f) et, par hypothèse, aussi de 

 Fi(/i), sera complémentaire de tous les feuillets de la mono- 

 couronne LFi(/i), F^l/J], et par conséquent, du feuillet F(/). 



(C.Q.F.D.) 



Corollaire. — Si dans une poli/couronne (tri-, tetra-, penta- 

 ou hexacouronne), on p-end 3 feuillets quelconques, la hicou- 

 ronne qui joint ces 3 feuillets sera située toute entière dans ladite 

 poly couronne. 



Prenons par exemple 3 feuillets Y^{f\), F^{f), F^iJ.^) dans 

 une pentacouronne : nous avons vu qu'on peut déttnir la 

 peiitacouronne comme le lieu des feuillets complémentaires 

 de 2 feuillets donnés ^i('fi) et 4>j('f2). Puisque les feuillets 

 Fi(/i), Fj (/î), Fg (/g) font partie de la pentacouronne, ces 

 feuillets sont tous trois complémentaires des feuillets <I>i('fJ 



') En effet, les plans directeurs des 2 monofaisceaux se coupent 

 suivant une direction unique, et Bail a montré (Theory of Screirs, p. 122) 

 que dans tout bifaisceau il existe une génératrice et une seule qui soit 

 parallèle à une direction donnée. La génératrice parallèle à l'inter- 

 section des 2 plans directeurs appartient aux 2 monofaisceaux et l'on 

 voit qu'elle est unique. 



