LA GÉOMÉTRIE DES FEUILLETS « COTES » 115 



et 4>2('f2), donc, d'après le théorème XII, tous les feuillets de 

 la bicouroniie [F^(/i), ^^iJ^)^ ^sifa)] sont aussi complémen- 

 taires de 4>i ('fi) et <ï>2 (92), c'est-à-dire que cette bicouronue 

 fait partie de la peutacouronne. (C. Q.F. D.) 



DÉFINITIONS. — On sait qu'un feuillet se compose d'un 

 point M, d'une droite D et d'un plan P, réunis de telle façon 

 que chacun de ces trois éléments se trouve situé sur les deux 

 autres. Lorsque le feuillet (MDP) décrit une bicouronue, le 

 point M engendre une surface, que j'appellerai la surface de 

 hase de la bicouronne ; pendant ce temps le plan P enveloppe 

 aussi une surface, que j'appellerai la surface de gorge de la 

 bicouronne ; enfin la droite D engendre une congruence. 



Propriétés de la surface de base. — 1" On peut tracer 

 sur cette surface une double infinité d'ellipses différentes; ceci 

 résulte du fait que la ligne de base d'une monocouronne est 

 une ellipse et que, dans toute bicouronne, il y a une double 

 infinité de monocouronnes, dont les ellipses de base sont évi- 

 demment situées sur la surface de base de la bicouronne; 



2** Etant donnés 2 points quelconques M^ et M, sur la surface 

 de hase, il existe toujours une ellipse joignant ces 2 points, et 

 située entièrement sur cette surface: en effet, il existe toujours 

 une monocouronne, située dans la bicouronne, et joignant les 

 2 feuillets (M^D^PJ et (M2D2P2) ; 



3° Jja surface de hase possède un point triple: En effet, lors- 

 qu'un point M se déplace en restant symétrique d'un point 

 fixe Mg par rapport aux diverses génératrices G d'une con- 

 gruence, il décrit une surface qui contient le point M,, puis- 

 qu'on ce point passe au moins une génératrice G; en outre, 

 cette génératrice est normale à la surface, car la droite G est 

 toujours perpendiculaire sur le milieu du segment MM^ , et 

 lorsque le point M se rapproche du point M^ , la ligne droite 

 MM(, tend vers la tangente à la surface; celle-ci a donc, au 

 point Mo autant de normales qu'il y a de droites G, passant 

 par Mo , c'est-à-dire que la surface, lieu du point M, possède 

 plusieurs nappes se croisant au point M^ et formant en ce point 

 un point multiple dont l'ordre est égal au degré de la congruence 

 des droites G. Or, comme les droites d'un bifaisceau forment 



