116 LA GÉOMKTRIK DES FEUILLETS « COTES » 



une congrueiice de Bail et qu'une telle congruence est du 

 o^ degi'é(^), on voit que la surface de base d'une bicouronne 

 possède au point M.^ un point triple, où se croisent 3 nappes 

 de la surface; nous dirons que le point M^ est «-l'aniipôle^) de 

 la bicouronne. 



4" Par V antipôle d'une bicouronne passent 3 infinités (,<=<^'^) de 

 monocouronnes-' en effet, par le point M^ passent 3 droites G 

 du bifaisceau générateur de la bicouronne ; or, par chacune de 

 ces 3 droites G passent une infinité (^o^) de monofaisceaux 

 faisant partie du bifaisceau; à chacun de ces monofaisceaux 

 correspond une monocouronne dont la base passe par M^ puis- 

 que tous ces monofaisceaux ont une génératrice G qui passe 

 par Mo- On voit donc qn'il y a 3 infinités (ooi) d'ellipses tracées 

 sur la surface de hase et qui se croisent à l'antipôle M^. Ces 

 3 séries d'ellipses correspondent évidemment aux 3 nappes de 

 la surface. 



Propriétés de la surface de gorge. — La surface de 

 gorge d'une bicouronne possède un plan tangent triple. 



En effet, lorsque le feuillet (M D P) décrit la bicouronne, en 

 restant symétrique du feuillet fixe (MoDqPo), par rapport aux 

 droites G du bifaisceau générateur, le plan P reste tangent à 

 la surface de gorge ; en outre, comme les plans P et P,, restent 

 symétriques l'un de l'autre par rapport à la droite G, ces deux 

 plans coïncideront toutes les fois que la droite mobile G devien- 

 dra perpendiculaire au plan fixe Pg ; comme les droites d'un 

 bifaisceau forment une congruence du 3° degré, on voit que le 

 plan tangent P coïncidera 3 fois(-) avec le plan Pq, et que par 

 conséquent, le plan P^ est un plan tangent triple de la surface 

 de gorge. Nous dirons que le plan P^ est le plan antipolaire de 

 la bicouronne. 



Le lecteur se demandera peut être pourquoi j'emploie les 

 ternies de «antipôle», «plan antipolaire», au lieu des simples 



') Voir Theory of Screws, p. 122. 



^) Les droites perpendiculaires à un plan Pq passent par un même 

 point à l'infini. Le nombre des droites d'une congruence, qui sont 

 perpendiculaires au plan Pq est donc égal au degré de cette con- 

 gruence. 



