LA GÉOMÉTRIE DES FEUILLETS « COTES » 117 



termes «pôle», «plan polaire». La raison eu est la suivante: 

 nous avons vu qu'un couronoïde peut être défini, soit par un 

 feuillet fixe (M(,DoPo) ^t une gerbe de droites, soit par un 

 feuillet fixe {ni^doPo) ©t une gerbe de plans ; pour que ces deux 

 générations produisent le même couronoïde, il suffit que les 

 deux gerbes aient le même centre et que les feuillets 

 (MoDqPo) et (rn^^doPo) soient symétriques l'un de l'autre par 

 rapport au point 0; le pôle du couronoïde est le point Wo 

 (situé sur la sphère de base) et le plan polaire est le plan 2^0 

 (tangent à la sphère de gorge); le point M^ n'est pas un pôle, 

 mais comme c'est le point de la sphère de base qui est diamé- 

 tralement opposé au pôle w,,, on peut appeler ce point Vanti- 

 pôle du couronoïde ; de même le plan P,, est symétrique du plan 

 polaire p^ par rapport au point ; il est donc aussi tangent à 

 la sphère de gorge et on peut l'appeler le plan antipolaire du 

 couronoïde. 



Revenons à la bicouronne : lorsque celle-ci se réduit à un 

 couronoïde, c'est-à-dire lorsque le bifaisceau générateur se 

 réduit à une gerbe de droites, les surfaces de base et de gorge 

 deviennent des sphères, et le feuillet contraire de la bicou- 

 ronne devient le feuillet contraire du couronoïde, c'est-à-dire 

 que le point M^ devient l'antipôle (et non pas le pôle) du 

 couronoïde. 



Une autre question intéressante est la suivante : les surfaces 

 de hase et de gorge d'une hicouronne peuvent-elles coïncider ? Nous 

 savons en effet que pour les couronoïdes la sphère de base et la 

 sphère de gorge peuvent coïncider ; dans ce cas, le plan P du 

 feuillet générateur (MDP) est constamment tangent à la sphère 

 décrite par le point M, et le couronoïde est appelé couronoïde de 

 Jiux, parce que l'ensemble des positions du feuillet (MDP) 

 détermine sur la sphère de base un système de lignes de flux 

 (fig. 8) tel qu'en chaque point M de la sphère, la droite D est 

 la tangente à la ligne de flux et le plan P le plan tangent à la 

 sphère : celle-ci est donc une surface de flux. Existe-t-il des 

 bicouronnes de flux, c'est-à-dire des bicouronnes dont la surface 

 de base est une surface de flux? Il faudrait pour cela que la base 

 et la gorge coïncident, et jusqu'à présent je n'ai pas réussi à 

 établir si cette condition est réalisable ou non. 



