DES SCIENCES NATURELLES. 367 



Pour les calculer, nous avons recours aux opérations 

 simples ci-dessous ; 



/a-b ^-^ '^« '^» "• '*' 



M, "t(/^6-r,) a + 6-r, /ô^iô-ra) 



•^^ = ,- . ^= r Ti — = =0j + ■ 



a! = 



u^_SV(i+b-r^^) /a+6-r^_, 



/â-(6-r^_^) «-(*-^_ir 



"■^ np '/ "p vy 



Tp représente le reste de la division : 



26 -r , h 26-r , -r 



p — 1 V 



p—1 



f 



et - 



Ce développement suppose '.a-{h-r^^y = n^^ • w^; 

 cette formule se vérifie pour les premières valeurs, et 

 en la supposant vraie pour deux valeurs np_2 • /ip_i, 

 on démontre aisément qu'elle subsiste pour le produit 

 suivant : Wp__i • 11^; elle est donc générale. 



En remarquant : n^ > r^; Uj, > rp_^\ n^ < Ih ; 

 /'p < 6 ; on peut démontrer le théorème suivant : 



Théo. I : Dans le développement de V^a en frac, cont., 

 si, à un moment donné on a: «p = Wp^i, ou encore 

 «p_i = /ip+i, à partir de Up^i toute la série des valeurs 

 (n) obtenues avant (np) ou (/ip_,) se répète dans l'ordre 

 inverse; les valeurs (6) suivent la même loi. 



La valeur (nx) qui devient égale a(n^), entraîne une 

 valeur suivante (nij^i) égale à i et des valeurs hx = &i 



