10 LA GÉOMÉTRIE DES FEUILLETS « COTÉS » 



Exemple : Soit S^ une tétracouronne et S, une bicouroime. 

 Si ces deux polycouroiiiies sont indépendantes, S„ ne contiendra 

 pas de feuillets complémentaires de S^ ; par contre, S^ contien- 

 dra des feuillets complémentaires de S, et ces feuillets forme- 

 ront un système d'espèce S^, c'est-à-dire une raonocouronne. 



Remarque : Dans le cas où m = n, la polycouroune Sm-n— i) 

 n'existe pas, donc : lorsque deux poly couronnes, indépendantes 

 l'une de Vautre, sont de même espèce, aucune des deux ne contient 

 des feuillets complémentaires de l'autre. 



Cas ou les deux polycouronnes S m et S« ne sont pas indé- 

 pendantes. — Démontrons d'abord le lemme suivant: 



Lemme : Si un système de feuillets S est contenu dans un 

 autre système S', le système S, complémentaire de S, contiendra 

 le système S', complémentaire de S'. 



En efïet, S' étant complémentaire de S' est complémentaire 

 de tous les feuillets, ou groupes de feuillets, contenus dans S', 

 donc en particulier du groupe formé par le système S. Mais, si 

 le système S' est complémentaire de S, il doit être contenu 

 dans S, puisque S est le lieu de tous les feuillets complémen- 

 taires de S. (C. Q. F. D.) 



Théorème XXXVII. — Si deux polycouronnes de même 

 espèce 8m et S' m sont telles que le système 8m contient une poly- 

 couronne Tn complémentaire de S'm, réciproquement le système 

 8' ta contiendra aussi une polycouronne de même esptèce T'i. com- 

 plémentaire de Sm . 



En effet, représentons symboliquement les systèmes de feuil- 

 lets Sm, S'm, Tn, etc., par des aires planes (fig. 9). Le système 

 complémentaire de Sm est une polycouroune d'espèce (6 — m), 

 que nous désignerons par S(6-to). De même, le système complé- 

 mentaire de T« est une polycouroune d'espèce (6 — n), que 

 nous désignerons par %[G-n) • Or, d'après le lemme précédent, 

 puisque T,i est contenu dans Sm, le système complémentaire 

 2(6-»î: contient le système complémentaire le- m. D'autre part, 

 Tn est, par hypothèse, complémentaire de S'm, donc, récipro- 



