366 NOTE SUR LA THEORIE ANALYTIQUE 



IL Le mouvement dans l'espace a trois dimensions 



§ 2. Notre premier soin doit être de représenter analytique- 

 ment les positions d'un corps, soit d'un trièdre A, d'en définir 

 les coordonnées relativement à un autre trièdre S^, lequel fonc- 

 tionne comme système de repère. Cette question est elle-même 

 identique à cette autre : représenter analytiquement le mou- 

 vement qui mène le corps S^ sur le corps congruent A. Ce mou- 

 vement fait partie du groupe des oo" mouvements de l'espace 

 euclidien qui est celui où nous avons à nous mouvoir. Mais les faits 

 analytiques gagnent considérablement en clarté si, de l'espace 

 euclidien, on se transporte d'abord dans l'espace non-euclidien, 

 que ce dernier soit de Riemann (sphérique), ou de Lobatchewsky 

 (hyperbolique). Le cas euclidien s'intercale entre les deux 

 autres, comme un cas limite, qu'on comprend beaucoup mieux 

 après avoir étudié ceux-ci. 



Cas de l'espace sphérique 



§ 3. Prenons d'abord l'espace sphérique. Dans cet espace, 

 un point est caractérisé au moyen de quatre coordonnées 

 Xp , X^ , X, , Xg , lesquelles vérifient la condition 



/ = Xo- + Xr' + Xi~ + X3- = 1 . 



Le mouvement est équivalent à une transformation linéaire 

 L = {aij), orthogonale et directe, laquelle laisse la forme/inva- 

 riante. Il existe en tout ©o® transformations de cette espèce; 

 rappelons succinctement comment elles se définissent par le 

 moyen de l'algorithme des quaternions, lequel constitue ici un 

 instrument indispensable. 



Soient i^, L, i^ les unités complexes quaternionniennes ; elles 

 satisfont les équations 



îl" = îg" = îs' = 1 , 



et 



l,is = h , Hh = h } ^ih = h 5 



hh = — il , iiis = — h > hh = — »3 • 



