368 NOTii: SUR la théorie analytique 



l'espace sphérique conduisent d'un point Xfc à un autre X// ; 

 nous écrivons plutôt cette transformation sous la forme 



'o = AoA' , (3) 



endésignantparJ! le conjugué, relativement aux unités i^ , i.^ , % 

 d'une quateruion A. On a donc ici Â' = B, ou A' = B{^). 



Considérons en second lieu l'effet du mouvement sur une 

 droite L, dont la position primitive s'obtient en joignant les 

 deux points X, Y et dont, par suite, la position finale réunit les 

 points correspondants X' Y' ; pour définir cette droite analyti- 

 queraent, il est d'usage d'employer les déterminants de Plûcker 



l = [XoYi] = XoYi - YoX, , m = [XoY,] , n = [X0Y3] , 

 p = [X2Y3] =.... , 3 = [X3Y,] , r = [X.Y^] . 



Avec eux constituons les vecteurs 



L = iid + p) + iiim + 3) + hin + r) , 

 M = iiil - p) + ù(m - g) + ^(n - r) , 



dont l'ensemble définit analytiquement la droite donnée. Si 

 alors on cherche, par le calcul direct, l'effet de la substitution (3) 

 sur les sommes l ± p,. . ., puis sur les vecteurs L et il/, on 

 reconnaît facilement que ces derniers se changent dans de nou- 

 veaux vecteurs, et subissent les transformations orthogonales 

 ternaires 



'L = ALA , (4) 



'M = A'MÀ' . (5) 



Ce qui précède nous donne le moyen de trouver les quater- 

 nions A et A' de la formule (3) lorsque les coefficients mj de la 

 transformation L = {ciij] sont seuls connus; du même coup la 

 généralité de cette formule (3) se trouve établie. 



') Cette notation servira constamment dans la suite. La barre supé- 

 rieure surmontant un quaternion (A) indique qu'il faut prendre le 

 conjugué en changeant les signes de t, ù is ; dans un biquaternion la barre 

 inférieure {A) signifie que c'est la quantité i dont le signe doit être ren- 

 versé. Enfinla notation (A) veut dire que les quatre unités i doivent être 

 remplacées par leurs opposées. 



