DES CORPS SOLIDES COTÉS 369 



En effet si, partant de la traiisformation L, on en déduit la 

 transformation corrélative des déterminants l, m. . . , r, on cons- 

 tate facilement qu'elle est de sixième dimension et qu'elle afïecte 

 le type 



T I U 



A = 



U I T 



symbole où les parties T et U désignent des déterminants ter- 

 naires. De plus, la transformation A laisse invariantes les deux 

 formes 



l- + m- + «- + p- + q^ + r^ , et îp + mq + nr , 



soit encore les deux sommes de carrés 



(7 ± py + (m ± q)- + {n ± r)' . 



Mais les quantités l± p, m± q, w =t r, subissent la trans- 

 formation T ± U et, par suite, les substitutions T + U et T — U 

 sont, toutes les deux, orthogonales et directes. Tout ceci est 

 conforme aux formules (4) et (5); car celles-ci nous montrent 

 que les vecteurs L et M subissent chacun une rotation. Il est 

 désormais aisé de conclure. 



Prenons, pour chacune des transformations orthogonales 

 T-[-U et T — U, lesquelles se déterminent exclusivement par 

 les coefficients de L = { aij ), les paramètres de Rodrigues corres- 

 pondants Cn , e^ , e^ , 63 ; avec ces deux séries formons deux qua- 

 teruions e^ -f h ^1 + h ^2 + ^3 63. Ce sont précisément ces qua- 

 ternions A et A qui figurent dans les formules (3), (4), (5), 

 pour caractériser le mouvement non-euclidien des points et des 

 droites de l'espace. 



En terminant ce rapide résumé, il importe de remarquer que la 

 méthode servant à trouver A et A' ne les détermine qu'au signe 

 près; cette incertitude de signe n'exerce aucune influence sur 

 les formules (4) et (5) du mouvement des droites appartenant 

 au corps, elle doit être levée en revanche pour que l'équation 

 (3) du mouvement des points se trouve débarrassée de toute 

 ambiguïté. C'est un point sur lequel j'aurai à revenir. 



