370 NOTE SUR LA THÉORIE ANALYTIQUE 



Cas de Vespace hyperbolique 



§ 4. Ce nouveau cas se rattache directement au précédent, il 

 s'en déduit en substituant à la place de l'équation fondamentale 



f = x„-^ + Xr' + x^^' 4- X3-' = 1 , 

 cette autre 



Il faut évidemment, pour opérer ce passage, poser 



Xo = Xo et X, = ix, (k = 1, 2, 3) , 



en supposant réelles les nouvelles coordonnées x. Ceci ne suffit 

 pas ; il faut encore que la transformation L = {aij} subie par 

 les X, qui doit représenter le mouvement de Lobatcliewsky, 

 soit réelle quant aux nouvelles variables x. Pour remplir cette 

 condition il faut, comme on voit facilement, que tous les a,j soient 

 des quantités réelles sauf ceux d'entre eux qui contiennent, une 

 fois et une seule, l'indice : ces derniers devront être choisis 

 purement imaginaires. 



Analysons, dans cette hypothèse, la composition des quater- 

 nions A et A' qui représentent, ici encore, le mouvement et 

 dérivent, comme vu plus haut, des deux schémas orthogonaux 

 T + U et T — U. 



D'après la constitution bilinéaire de leurs éléments en fonc- 

 tion des aij , il est aisé de reconnaître que T a tous ses éléments 

 réels, tandis que U a tous les siens purement imaginaires. 



Il en résulte que, dans le cas de l'espace de Lolmtchewsky, 

 les quaternious A et A' sont conjugués relativement à l'unité 

 complexe ordinaire. N'oublions pas toutefois la remarque qui 

 termine le paragraphe précédent; les schémas orthogonaux 

 T=tU, dérivés de la transformation L = (o-o), ne déterminent 

 les quaternions correspondants qu'au signe près. C'est dire 

 que si l'on a A =p-\-qi, formule dans laquelle j? et q désignent 

 deux quaternions réels, on aura J.' = =t (p — qi)\ i^y a là une 

 ambiguïté qu'il nous faut nécessairement lever. Nous allons 

 voir que le signe -7- seul convient et qu'on doit écrire en réalité 

 A' = p — qi. 



