DES CORPS SOLIDES COTÉS 373 



mais celle-ci n'est pas nouvelle et se confond avec (9). Nous 

 savons en effet que, dans l'espace hyperbolique, le plan est 

 représenté par un point idéal qui lui est équivalent; la caracté- 

 ristique d'un tel point x^ , x^, x^, x^, est que ses coordonnées 

 véritieut la relation /= — 1, au lieu de l'équation /= + 1, 

 valable pour les points réels. Il est clair que ce changement 

 de signe n'intervient nulle part dans les applications de la 

 formule (9). 



Cas de l'espace euclidien 



§ 5. Il nous reste en dernier lieu à développer les formules, 

 analogues à (9) et (10), pour le déplacement d'un point, ou 

 d'une droite, dans le cas évidemment le plus important au 

 point de vue pratique, celui de l'espace euclidien ordinaire. 



Au lieu de reprendre notre analyse ah ovo nous déduirons 

 simplement les formules demandées en les considérant comme 

 des limites de celles déjà connues. En fait, plaçons-nous par 

 exemple dans l'espace de Lobatchewsky, et considérons autour 

 de l'origine une région infiniment petite, puis soumettons la à 

 un déplacement qui soit lui-même infiniment petit. Les lois d'un 

 pareil mouvement ne sont autres que celles d'un mouvement 

 euclidien : c'est sur ce théorème fondamental que je vais 

 m'appuyer pour obtenir le résultat cherché. J'y ajouterai, à 

 cause de l'importance du cas actuel, certains développements 

 qui étaient superflus chez les deux précédents. 



Soit donc admis, dans la relation/ = x^^ — ic,^ — x^" — x^- , 

 que les quantités x^, x^, x^ sont des infiniment petits du pre- 

 mier ordre : ce sont simplement les trois coordonnées rectangles 

 ordinaires d'un point de l'espace euclidien. 



La quantité 



-/rr 



«,- 



devant être positive, diffère de l'unité par une expression du 

 second ordre. En conséquence, au second ordre près, nous 

 aurons 



0=1-1- t(i,Xi -f- i^Xs + 13%) , (11) 



