374 NOTE SUR LA THÉORIE ANALYTIQUE 



et de même, après le mouvement lequel, par hypothèse, déplace 

 intiniinent peu le point x 



'of = 1 + iikoc^ + i,x/ + 4x3') • (11'''') 



Les calculs doivent être conduits en négligeant partout les 

 puissances des x et des x supérieures à la première : or ces 

 quantités contiennent toujours l'imaginaire i comme coefficient; 

 la règle 'précédente se ramène donc à traiter i comme un infiniment 

 2)etit dont le carré doit être remplacé jpar zéro. La suite montrera 

 la généralité absolue de cette règle. 



Reprenons la formule (9) du mouvement hyperbolique, et 

 mettons en évidence dans le quaternion A les parties réelle et 

 imaginaire en écrivant A=^ y -{- qi^ de telle manière que le 

 mouvement euclidien soit défini par la formule quaternionnienne 



'o = AoÀ = (p + qi)o(p — qi) . (12) 



La règle précédente exige que le quaternion q soit un infini- 

 ment petit du premier ordre. Pour montrer qu'il en est bien 

 ainsi, remarquons que le déplacement de l'origine, dans les 

 conditions actuelles, doit être considéré comme infiniment petit; 

 autrement dit. il faut que la quantité A À affecte la forme 

 l + B, iC). 



Remplaçons, dans l'égalité A il = 1 -j- e^ i , le quaternion A 

 par sa valeur développée 2^ ^ qi; cette égalité se décompose 

 dans les suivantes 



pp + qq = l + £-2 . 2i' - Pi = £1 • 



D'autre part, A étant uniraodulaire, la condition correspon- 

 dante AÂ = l se dédouble comme suit 



IJp - qq= l , qp + pq = . 



En combinant deux à deux les équations ci-dessus, nous 

 obtenons 



pp =^ 1 + eo , qq = s/ , 2qp = e^ ; (13) 



') La notation £;,. désigne un infiniment petit quelconque d'ordre l\ 



