380 NOTE SUR LA THÉORIE ANALYTIQUE 



Tout ceci est vrai dans les trois géométries ; la distinction entre 

 elles s'établit d'après la propriété imposée à la quantité i, 

 et selon que i" — 1, — 1, ou 0, on se trouve dans l'espace sphé- 

 rique, hyperbolique ou euclidien. Je répète que je n'aurai guère 

 atïaire ici qu'au second cas, lequel comprend, à la limite, le 

 troisième. 



Une remarque encore. Nous savons qu'un biquaternion A, 

 unimodulaire, étant donné, il existe toujours un seul corps A 

 dont il est le représentant analytique. Mais la réciproque n'est 

 pas vraie d'une manière absolue, dans ce sens, qu'à un corps A 

 correspondent toujours deux quaternions -t A, égaux et de 

 signes contraires. Il y a là le germe d'une distinction importante 

 dont on verra le développement ci-après. 



Composition. Changement d'axes 



§ 7. Le biquaternion A, représentatif d'un corps, est uni- 

 modulaire, donc 



{AA) = ^0- + A,- + AoJ + A,' = 1 . (15) 



Or A/c = Aie' + iA]^' ; ainsi, en décomposant les carrés dans 

 leurs parties réelle et imaginaire, il vient 



(A A}' = A^" + Ar" + A," + A./' 

 - A,/'- - A^'" - AoJ" - A,'" 



(16) 



^(.4^)" = A,' A," + A,' A," + A.'Ao" + A,'A," = . (17) 



Dans le cas euclidien la première de ces formules se simplifie 

 un peu, c'est elle qui servira à fixer les valeurs absolues des 



(A' \ 

 quantités 1 /" \ . Mais la seconde est plus importante parce 



qu'elle ne concerne que les seuls rapports de nos coordonnées, 

 et qu'elle conserve la même forme dans les trois Géométries. 



Il est clair que le système S^ , auquel le corps A est rapporté, 

 intervient pour sa part dans la détermination du quaternion A 



