DES CORPS SOLIDES C0TÉ8 383 



Posons doue, en mettant en évidence la structure complexe 

 du quaternion q, 



2 = cos (a + U) + il sin {a + U) , (18) 



^ = cos (o — hi) — il sin (a — M) . (18') 



et cherchons par la formule go^ le déplacement d'un point quel- 

 conque de l'une des deux droites invariantes, nous avons à 

 l'instant le double résultat suivant : 



1° Pendant le mouvement (18), l'axe des x, glisse sur lui-même 

 d'une longueur égale à 2h. 2" Un plan quelconque, mené par le 

 même axe, tourne d'un angle égal à 2a. 



En résumé, le mouvement dont il s'agit est un mouvement 

 hélicoïdal, autour de l'axe x^ , ayant 2a pour rotation ei2h pour 

 translation; le plus souvent j'appellerai amplitude d'un pareil 

 mouvement la quantité complexe 



u = a + bi ; 



il importe de remarquer qu'elle ne contient que les moitiés des 

 grandeurs des deux mouvements élémentaires. C'est cette ampli- 

 tude qui intervient seule dans la définition du quaternion (18), 

 dont la formule est ainsi 



q = cos îi + h siû w • ^ ' 



Passons maintenant au cas général du quaternion représen- 

 tant un corps ^1, ou plutôt le mouvement S^A. On sait qu'un sem- 

 blable mouvement se réduit toujoui's à un certain mouvement 

 hélicoïdal, dont je désignerai l'amplitude par u. Cela étant 

 changeons le système de référence et prenons, pour en remplir 

 le rôle, un nouveau système So ayant l'axe hélicoïdal pour son 

 axe des x^ . Dès lors, comme on vient de le voir, le mouvement 

 S^A, vu par S^' a pour quaternion la quantité (19); si doncp 

 est le quaternion représentatif du changement d'axes S^So , le 

 même mouvement S^A, vu par S^ , aura pour quaternion 



A = pqp = p (cos u + t, sin u)p = cos ti + sin upi,p . 



