458 NOTE SUU LA THEOKIE ANALYTIQUE 



puis, en mettant en évidence les parties scalaire et vectorielle, 

 BA = (AB) 4- ( AB ), avec 



(AB) = A,B, + A,Br + A,B, + A.B, . (21) 



[AB) = ii[.1,Bo - A,B, + A^B., - A,B.,] + ... ; (22) 



chacune de ces quantités est invariante. 



2" Le produit BA, lequel n'est pas ordinairement un vecteur, 

 se transforme comme s'il était un vecteur. En effet, ce produit 



devient 



pBpA = 2>(-B^ )'p . 



Ici encore, mettons en évidence les parties scalaire et vecto- 

 rielle BA =- {AB) + [AB]. L'expression (AB) est la même 

 que ci-dessus; quant à [AB], il vaut 



[AB] = hi A^B^ - A,B„ -h A,B, - A,Bo) + . . . , (23) 



c'est un vecteur solidaire des deux corps. 



Il est clair que des trois quantités bilinéaires (AB), [AB], 

 [AB], lesquelles possèdent d'ailleurs chacune une partie réelle 

 et une autre imaginaire (^), la première est symétrique et les deux 

 dernières sont alternées par rapport aux corps en question. Nous 

 avons à trouver la signification de ces formations invariantes. 



Il suffit de partir de l'interprétation géométrique donnée 

 plus haut pour A, et de choisir ce corps lui-même pour 

 système de référence ; ce choix réduit les deux combinaisons 

 ci-dessus aux valeurs B et B, ou bien 



B = cos u — L sin a , B = cos u -j- L sin u , 



formules dans lesquelles w a la signification d'une amplitude, 

 L celle d'un axe géométrique. Les propriétés d'invariance vues 

 plus haut donnent alors le résultat cherché. 

 1° Si l'on pose 



BA = cosu - M sin M = {AB} + [AB] , (24) 



U représente V intervalle des corps A et B; M représente Vaxe du 



') Désignées plus bas par {AB)' . {AB)" , [AB]', .... 



