460 NOTE SUR LA THÉORIE ANALYTIQUE 



{AB)" = V (,j;«;' + A^"B,') = - bsma ; (28') 



h 



si les corps coïncident, on aura donc, dans la Géométrie ordi- 

 naire, 



2me Corollaire. (Relation trigonoraétrique). Soit ^S'^ le système 

 d'axes, J. et B deux corps obtenus eu déplaçant S^ de quantités 

 a, V autour de deux droites L et if, dont l'écart l -j- mi soit 

 dénoté (?m), pendant que celui des corps l'est par iab). 



On a 



A = cos u + i sin ît , B =-- cos v -\- M un v ; 



puis, pour la partie scalaire du produit AB, 



(AB) = cos u cos V + (LM) sin u sin v . 

 Ainsi 



cos (ab) = cos H cos v + sin « sin t; cos '/m) ; 



cette formule est relative au cas de Lobatchewsky ; pour l'appli- 

 quer à l'espace ordinaire, il faudra simplement développer les 

 cosinus et sinus des quantités complexes n, v, (Im), et négliger 

 partout le carré de l'imaginaire i. 



3""^ Corollaire. Si, dans le calcul précédent, nous supposons 

 en particulier que les déplacements u et v vaillent tous les deux 

 90°, nous obtenons la conséquence que voici, laquelle est très 

 facile à vérifier directement par la Géométrie synthétique. 



Lorsqu'un corx)s solide tourne de 180° successivemeni autour 

 de deux droites quelconques, sans glissement, l'intervalle qui 

 sépare les positions finales est égal à l'intervalle des axes de 

 rotation. 



Pour ne pas se méprendre sur le sens de cette proposition 

 Importante, il convient de rappeler ici que l'intervalle de deux 

 droites est défini par leur angle et leur distance, tandis que 

 l'intervalle de deux corps emploie la moitié seulement des 

 déplacements rotatoire et translatoire dont se compose le mou- 

 vement hélicoïdal amenant un des corps sur l'autre. 



