484 NOTE SUR LA THÉORIE ANALYTIQUE 



l'une des séries est en involution avec tout corps pris dans 

 l'autre, le moment réciproque de ces corps (a[B)" étant nul. 



Il est clair que, dans la formule (47), les corps ^a. servent de 

 hase et que les paramètres u fonctionnent comme des coordon- 

 nées veprésentaint les corps de la w-série relativement à cette 

 base. La signification géométrique de ces coordonnées est fa- 

 cile à déterminer, même dans le cas général ; toutefois, pour 

 être plus bref, je supposerai que les éléments de base ont été 

 choisis en involution les uns avec les autres. 



La précédente condition est toujours réalisable. En effet, 

 les '"^a sont au nombre de w+ 1 et font partie d'une n- série 

 donnée; chacun doit ainsi satisfaire 7 — n équations linéaires, 

 ou {n 4- 1) (7 — n) en tout. Il faut y joindre les 



(n-hl) + (n + 1) '-' = (w + 1) (1 + '-' ) 



conditions qui expriment l'involution, c'est-à-dire 



Wa = 1 i'-a'^a)" =0 (* ] = 1, 2, . . . w + 1 . 



Cela fait au total {n-\- 1) (8 — ^ ) équations à vérifier contre un 



( '^Oi' ] 



nombre d'inconnues ^ „ égal à 8 (w -|- 1). L'excès du second 

 nombi'e sur le premier mesure le degré d'indétermination du pro- 

 blême; cet excès vaut ^ — , c'est donc toujours d'une in- 

 finité de manières qu'on peut choisir les éléments de base de 

 sorte qu'ils soient en involution deux à deux. 



Cela posé, multiplions scalairement (47) par la: quantité '^a , 

 et calculons le moment {^aa.)"; comme i^oJ^a)" = 0, si h =}= k, 

 on a 



d'ax)" = u {'•a''j}" . 



Mais, en Géométrie euclidienne, ('*a''a)" exprime le double de la 

 cote 2oif^ du corps ''a ; sauf ce facteur, la coordonnée u^ est donc 

 égale au moment du corps a, lequel appartient à la w- série 

 donnée, relativement à l'élément de base ''a. 

 Si cette w-série était du septième ordre, ce qui est le cas du 



