o2 THEORIE GEOMETRIQUE 



normales sont donc toutes perpendiculaires à l'axe du 

 faisceau et les caractéristiques des plans du faisceau 

 sont les projections de l'axe nul sur chacun de ces 

 plans ; le lieu de ces caractéristiques est un hyperbo- 

 loïde orthogonal puisque soit les plans projetants soit 

 les plans du faisceau passent par une même droite. 



Lorsqu'un faisceau de plans possède deux degrés de 

 liberté, les axes nuls forment un paraboloïde hyper- 

 bolique (puisqu'un des axes nuls est à l'infini). Les 

 normales aux surfaces enveloppées par les différents 

 plans du faisceau formeront un paraboloïde hyperboli- 

 que (second système de génératrices du paraboloïde 

 des axes nuls). Il suffît de connaître deux rotations 

 compatibles avec les liaisons pour déterminer complè- 

 tement ce paraboloïde, puisqu'on sait déjà qu'un de 

 ses plans directeurs est perpendiculaire à l'axe du 

 faisceau mobile. 



Lorsqu'un faisceau de plans possède trois degrés de 

 liberté les axes nuls forment une congruence linéaire. 

 Dans ce cas, il n'y aura plus que deux plans du fais- 

 ceau qui envelopperont des éléments de surface, savoir 

 les plans perpendiculaires aux droites focales de cette 

 congruence. D'ailleurs la congruence des axes nuls est 

 déterminée lorsqu'on connaît trois axes de rotation, car 

 un des axes nuls étant par hypothèse à l'infini dans un 

 plan perpendiculaire à l'axe du faisceau, les droites 

 focales doivent être perpendiculaires à cet axe. 



Enfin, lorsqu'un faisceau de plans possède quatre 

 degrés de liberté, les axes nuls forment un complexe 

 linéaire, et aucun plan du faisceau n'enveloppe un élé- 

 ment de surface ; d'ailleurs le complexe des axes nuls 

 sera déterminé si Ton connaît quatre axes de rotation 

 compatibles avec les liaisons, car un des axes nuls étant 



