288 SOCIÉTÉ NEUCHATELOISE 



et 



Co-2:r ---Co 



Co - 4 î^ - 3- - Co 



Co — 6:r — 071 — C^ 



La surface de Riemann doit être composée d'une infi- 

 nité de feuillets superposés qu'on peut imaginer numérotés 

 positivement et négativement à partir de l'un quelconque 

 d'entre eux pris pour feuillet origine ou zéro. 



La fonction C = f'irc sin z a deux points de ramifica- 

 tion, savoir — 1 et-f-''; autour desquels se permutent 

 deux à deux les déterminations du premier système avec 

 celles du second. 



De plus, C = arc sin z a deux points critiques à. Voo. 

 Ces points peuvent être censés situés respectivement dans 

 chacnn des deux feuillets de la surface représentative de 

 la fonction 



C = zi + ^^ _ ^2'. 



Autour de ces points oo, c'est-à-dire lorsque z décrit 

 une courbe fermée au tour de -f 1 et — I dans l'un ou 

 l'autre de ces deux feuillets, les déterminations d'un même 

 système passent l'une dans la suivante. 



L'infinité de feuillets de la surface de Riemann pourra 

 être considérée comme une infinité de doubles feuillets 

 identiques à ceux de la surface de 



C — zi Hz /l — z^'. 



On coupera l'infinité de doubles feuillets d'abord de 

 — 1 à-}- 'I. On coupera ensuite cette même infinité de 

 doubles feuillets entre les points infinis, et comme à cet 

 effet il faudra passer d'un feuillet dans le suivant, on 

 effectuera cette coupure transversalement à la ligne de 

 passage — 1 à -|- 1. Le plus simple sera de faire la 

 deuxième section tout le long de l'axe imaginaire, une 

 première partie étant faite dans l'un des feuillets au-dessus 

 de la ligne — 1 à + 1 jusqu'à celle-ci. l'autre partie étant 

 faite à partir de cette ligne et au-dessous dans l'autre 

 feuillet. 



