DES SCIENCES NATURELLES 81 



des fonctions des x et de «, satisfont à un système d'équations 

 différentielles de la forme 



(2) -£^ = ip{a)§i{x\, Xo, ...., x'n) 



(i = l, 2, n) 



Réciproquement : 



Si l'on a un ensemble de oo' transformations déHnies par les 

 formules (1) qui satisfont à un système d'équations différentielles 

 tel que celui défini par les relations (2), l'ensemble contenant la 

 transformation identique, le système de transformations donné 

 forme un groupe continu à un paramètre. 



Par un chang-ement de variables on ramène les équations du 

 groupe à la forme. 



y'i = Vi, y' -2 = 2/2, .•.-, y'n = yn + t, 

 qui est dite la forme normale du g-roupe. Ces équations expri- 

 ment qu'à toute transformation dans l'espace des jc correspond 

 dans l'espace des y une translation parallèle au n""' axe des coor- 

 données. 



L'application de la théorie des g-roupes à un paramètre aux 

 équations différentielles ordinaires a donné des résultats remar- 

 quables. 



Supposons qu'une équation différentielle ordinaire d'ordre n 



<'> ^{^'y'ï' t£)-' 



admette un g-roupe connu de transformations 

 ,^. \ x' = f(x, y, a) 



( y' = <P(x, y, «), 

 c'est-à-dire que cette équation (3) soit identique à l'équation obte- 

 nue en effectuant sur j? et ^ le chang-ement de variables défini par 

 les équations du g-roupy (4). Par un chang-ement de variables 

 ramenons les équations (4) à la forme normale du groupe 



Le même chang-ement de variables, appliqué à l'équation (3) 

 conduit à une équation du même ordre 



/ dv d"v\ 



^"^ T^ ^' d,ir^, d^j = ' 



Par hypothèse cette équation (6) admet le g-roupe (5), c'est-à- 

 dire ne chang-e pas quand on remplace v par v -\- f ; donc elle 

 doit être de la forme 



Archives, t. XXXIL — Juillet 1911. 6 



