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Si rC>\ , on abaissera l'ordre d'une unité en prenant pour fonc- 



dv 



tion inconnue -y- 



du. 



Si n = 1, on obtiendra l'intégrale de l'équation par une 



quadrature. 



Exemple I. — Soit l'équation 



dy i"J/^ 



^\^' dx''-"' dx" 

 où la variable indépendante ne figure pas. 



Cette équations admet le jgroupe des translations parallèles à ox 



\y' = y 



I x' = X + t 

 Nous prendrons donc pour variables canoniques 



V — X 



Ce changement de variables revient à prendre x pour nouvelle 

 fonction inconnue et y pour variable indépendante. D'après ce 

 qu'on a vu on pourra abaisser l'ordre de l'équation d'une unité. 



Exemple II. — Soit une équation différentielle d'ordre n, 

 homogène par rapport à x, y, dx, dy, dy, ...., d'^y. Elle admet 

 le groupe des homothéties, c'est-à-dire ne change pas quand on 

 remplace x par ex, y par cy\ par conséquent, elle admet le 

 groupe défini par les formules 



{ x' X 



\ Log x' = log x ■\- t 

 En posant 



y 



X 



V = log X 

 on sera conduit à une nouvelle équation dont on pourra abaisser 

 l'ordre d'une unité. 



Exemple III. — Si une équation différentielle ordinaire d'ordre ii 

 ne change pas quand on remplace x par kx, y par k'^y, elle admet 

 le groupe 



[VL^y. 



• a;'" a" 



f Log x' = Log X -\- t 

 On prendra pour nouvelles variables 



y_ 



Log X = V 

 et on pourra abaisser l'ordre de l'équation d'une unité. 



La théorie des groupes à un paramètre a éclairci la théorie des 



