58 NOTES ADDITIONNELLES A LA THEORIE MATHEMATIQUE 



pas la seconde mineure et celle de 46 degrés a comme pas la 

 moitié du comma'. 



En dehors de la division de l'octave en 12 degrés, c'est donc 

 à sa division en un nombre minimum de 29 degrés qu'il faut 

 aller pour obtenir une échelle tempérée pouvant former ap- 

 proximativement des intervalles musicaux'. 



III 



Notons ici qu'en identifiant deux à deux les premiers har- 

 moniques, 2 à 7, aux intervalles d'octave, de douzième 

 (quinte redoublée), de dix-septième (10"* redoublée, soit, tierce 

 deux fois redoublée), de dix-neuvième (douzième redoublée") et 

 de vingt-et-unième (7™" mineure deux fois redoublée), c'est-à- 

 dire qu'en prenant deux à deux les bases harmoniques expri- 

 mées par les équations : 



Zg = 2 , zzo = 3 , z"* = 5 , zz-'u = 6 , z^oZ^- = 7 ('') 



on peut former 8 échelles apériodiques différentes, dont quel- 

 ques valeurs sont données dans le tableau ci-contre. 



De ces 8 échelles, les 4 premières sous lettres (A) à (B) à 

 gauche du tableau, admettent le 7""* harmonique et sont de fait 

 hors de l'échelle musicale ; les trois premières, à comma de 

 sens positif exagéré, sortent de la limite 11^^, ou tendent même 

 vers celle Ij,, et la quatrième n'est meilleure qu'en apparence ; 

 elle correspond en effet à une valeur d'octave trop en dessous 

 de celle harmonique pour que celui-ci ne soit point «faux». 

 Par contre, les deux* sous lettres (E) et (F) à droite du tableau, 



' Une échelle de M notes a comme « pas » un « comma » si M ± 5 est 



, . , , , , • 7M =F 1 , . , 



multiple de 12, auquel cas la quinte aura -— ^ — commas; cela resuite 



de notre éq. V au §9. 



- Au sujet du non-fondé d'une division de l'octave en 24 parties, 

 nous nous en référons au § 14. 



•* Je m'en réfère aux relations indiquées au § 7 et à la planche I, 

 colonne (5). 



■• Ces deux échelles peuvent être rapprochées de celles placées à leur 

 droite et déjà inscrites sous colonnes (1) et (2) de la pi. III, utilisant en 

 fait 3 harmoniques. 



