60 NOTES ADDITIONNELLES A LA THÉORIE MATHÉMATIQUE 



à comma de seus négatif exagéré, sortent de la limite IIi, ou 

 tendent vers celle I,. 



Nous ne retrouvons donc par cette voie, comme échelles apé- 

 riodiques à deux intervalles harmoniques à peu près satisfai- 

 santes, que celles sous (C) et (D), et appelées au § 10 et à la 

 pi. III, l'une, celle des quintes, l'autre, celles des tierces har- 

 moniques. 



C'est entre ces deux dernières, reportées partiellen)ent à 

 droite du tableau suivant, que doit se trouver l'échelle vrai- 

 ment musicale, ainsi que nous l'avons déjà indiqué au §15, et 

 c'est entre elles aussi que se meut l'échelle tempérée usuelle 

 de 12 degrés et les autres échelles tempérées d'un nombre de 

 degrés supérieur que nous avons indiquées comme mathémati- 

 quement possibles, au dedans des limites IIi, et Il^g. 



Sont calculées ci-dessous quelques valeurs pour ces diverses 

 échelles, tout d'abord, au tableau ci-contre, sur base de l'oc- 

 tave harmonique, puis au tableau suivant, eu égard à la non 

 fixation absolue de l'octave, sur base de la 12™' harmonique, de 

 la quinte de Pythagore et de la 17™* harmonique. 

 Les divisions de l'octave en 31, respectivement 53 degrés, 

 sont, nous l'avons déjà fait remarquer (§ 10), les transforma- 

 tions à la fois les plus simples et les plus approchées des 

 échelles apériodiques des tierces, respectivement des quintes 

 harmoniques. 



Les divisions en 41 et 53 degrés, sans aller au delà, sont les 

 moins compliquées qui, dans un octave harmonique, donnent 

 des tierces et des quintes s'approchant de leur valeur harmo- 

 nique, plus que dans l'échelle de 12 degrés ; mais la tierce har- 

 monique y est représentée sensiblement par une quarte dimi- 

 nuée, définie mathématiquement par l'intervalle de l'ut au fa*». 



En conséquence, si l'écriture musicale doit conserver une 

 signification précise, une sorte de « tempérament moyen » à 

 des intervalles dérivant des trois premiers harmoniques, ne 

 peut être défini, en dehors du tempérament de 12 degrés, que 

 dans une échelle à comma de sens négatif, d'une valeur voi- 

 sine de 0,98 à 0,99, telle par exemple que celle de 43 ou celle 

 de 55 degrés. 



En ettet, la gamme des physiciens, examinée à notre §12, 



