166 HENRI POINCARÉ 



qui occupa les analystes peudant toute la durée du XIX^ siècle. 



L'importance de la tiiéorie des fonctions elliptiques réside 

 peut-être beaucoup moins en elle-même que dans le fait qu'elle 

 s'est trouvée mêlée à la genèse de toutes les grandes concep- 

 tions qui ont révolutionné la science mathématique au cours de 

 ce siècle. Et s'il arrive par aventure que certaines de ces théo- 

 ries n'entretiennent pas un rapport de tiliation directe avec 

 celle des fonctions elliptiques cette dernière leur a presque tou- 

 jours servi de pierre de touche. 



On nomme intégrale elliptique une intégrale où la variable 

 s'introduit sous une racine carrée recouvrant un polynôme du 

 quatrième degré. C'est le premier exemple qui s'offrit d'un 

 élément analytique étranger aux fonctions élémentaires de l'Al- 

 gèbre. Pour s'orienter dans le champ nouveau qui s'ouvrait à 

 l'investigation scientifique dès la fin du XVIIP siècle, plusieurs 

 propriétés ont successivement servi de fil conducteur aux géo- 

 mètres, en relation avec autant de points de vue essentielle- 

 ment différents au moins eu apparence. Le développement ulté- 

 rieur de la théorie devait amener entre eux des rapprochements 

 et en opérer à la tin la fusion. Ce furent le théorème d'addition, 

 le principe d'inversion et celui de la double périodicité. 



Suiyant le premier, la somme de deux intégrales elliptiques 

 est égale à une troisième intégrale elliptique dont la limite 

 supérieure dépend algébriquement, d'une manière connue, des 

 limites supérieures des deux premières. C'est, on le conçoit, 

 d'abord ce résultat, si frappant par son analogie avec le théo- 

 rème d'addition des arcs en trigonométrie, qui a exercé la 

 sagacité des géomètres. Plusieurs démonstrations, plus ou 

 moins artificielles, eu avaient été successivement proposées, 

 jusqu'à ce que Abel, par un coup de génie, en assigna la véri- 

 table cause en même temps qu'il en donnait la généralisation 

 définitive. Le théorème d'Abel étendait le théorème d'addition 

 au champ entier des intégrales algébriques qui reçurent de 

 Jacobi le nom ^'intégrales abéliennes. Dès lors, sans perdre de 

 son importance, au contraire, le premier point de vue cesse tou- 

 tefois d'occuper le devant de la scène et cède le pas aux autres 

 principes. 



Dès le commencement du XIX^ siècle, Abel et Jacobi — car 



